Доказать, что не существует такой непрерывной функции f: R⟶R, что f(x) рационально тогда и только тогда, когда f(x+1) иррационально. Я пытался рассмотреть новую функцию со сдвигом на 1, потому что все рациональные значения становятся иррациональными и наоборот, но не нашел противоречия в итоге. Есть несколько идей доказательства через множества, но через множества нельзя.

задан 7 Дек '18 19:17

10|600 символов нужно символов осталось
2

Наверное, способ сравнения одного с другим проходит. В самом деле, пусть g(x)=f(x)-f(x+1). Эта функция непрерывна, имеет период 1, и её значения во всех точках иррациональны, так как получается разность рационального и иррационального числа, или наоборот.

Понятно, что между любыми двумя иррациональными числами всегда есть рациональные, так как множество последних всюду плотно. Тем самым оказывается, что g(x) не может принимать различных значений, то есть она постоянна. Получается, что f(x)-f(x+1)=c для некоторой константы.

Всякое значение f(x) либо рационально, либо иррационально. Во втором случае рационально f(x+1), и тогда f(x)=с+f(x+1) принадлежит множеству c+Q. Оказывается, что все значения функции f принадлежат счётному множеству Q U (c+Q). Но такого быть не может, так как f(0) не равно f(1) (одно из двух чисел рационально, другое нет), и непрерывная функция f по лемме о промежуточном значении принимает все значения из некоторого интервала. Он несчётен, и поэтому не исчерпывается числами из Q U (c+Q), что даёт противоречие.

ссылка

отвечен 8 Дек '18 0:46

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,687
×61

задан
7 Дек '18 19:17

показан
184 раза

обновлен
8 Дек '18 0:46

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru