|
Ряд Маклорена для cosx $$cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-...+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+..., x \in (-\infty, +\infty)$$ Тогда $$cos\sqrt{x}=1-\frac{(\sqrt{x})^2}{2!}+\frac{(\sqrt{x})^4}{4!}-...+(-1)^n\frac{(\sqrt{x})^{2n}}{(2n)!}+...=$$ $$=1-\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{4!}-...+(-1)^n\frac{x^n}{(2n)!}+...$$ Откуда $$xcos\sqrt{x}=x-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{4!}-...+(-1)^n\frac{x^{n+1}}{(2n)!}+...$$ отвечен 10 Фев '12 13:27 
Anatoliy Строго говоря, это решение нельзя считать верным. По определению ряда Маклорена- это ряд, где коэффициент при члене $%x^k$% равен $%\frac{f^{k}(0)}{k!}$%, а то, что данный ряд удовлетворяет этому условию, вы не доказали.
(30 Сен '12 16:54)
dmg3
Ну, не все же строится по определению. Если ряд сходится к некоторой функции, он является ее рядом Тейлора. Так что достаточно доказать сходимость. Она следует из стандартных разложений.
(30 Сен '12 21:25)
DocentI
|
|
Задача Представить дополнение предиката $%f(x) = x \cdot \cos(\sqrt{x})$% в виде ряда Маклорена, если $%x \in [0, \infty)$% Решение $% 1. \ x \in \mathbb{R} \rightarrow \cos(x) = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{(-1)^i}{(2i)!} \cdot x^{2i} $% $% \Rightarrow x \geq 0 \rightarrow (x \in \mathbb{R} \rightarrow \cos(x) = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{(-1)^i}{(2i!} \cdot x^{2i})$% $% \Leftrightarrow x \in \mathbb{R} \wedge x \geq 0 \rightarrow \cos(x) = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{(-1)^i}{(2i)!} \cdot x^{2i}$% $% \Leftrightarrow x \in [0, \infty) \rightarrow \cos(x) = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{(-1)^i}{(2i)!} \cdot x^{2i}$% Примечание: $%A \rightarrow C \Rightarrow B \rightarrow (A \rightarrow C) \Leftrightarrow A \wedge B \rightarrow C \Leftrightarrow A' \rightarrow C$% $% 2. \ (x \in [0, \infty) \rightarrow \cos(x) = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{(-1)^i}{(2i)!} \cdot x^{2i}) \ \wedge $% $% (\cos(x) = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{(-1)^i}{(2i)!} \cdot x^{2i} \rightarrow (f(x) = x \cdot \cos(\sqrt{x}) \leftrightarrow f(x) = x \cdot \sum_{i=0}^{\infty} \frac{(-1)^i}{(2i)!} \cdot (\sqrt{x})^{2i}))$% $% \Rightarrow x \in [0, \infty) \rightarrow (f(x) = x \cdot \cos(\sqrt{x}) \leftrightarrow f(x) = x \cdot \sum_{i=0}^{\infty} \frac{(-1)^i}{(2i)!} \cdot (\sqrt{x})^{2i} = x \cdot \sum_{i=0}^{\infty} \frac{(-1)^i}{(2i)!} \cdot x^i)$% $% \Leftrightarrow (x \in [0, \infty) \rightarrow f(x) = x \cdot \cos(\sqrt{x})) \leftrightarrow (x \in [0, \infty) \rightarrow f(x) = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{(-1)^i}{(2i)!} \cdot x^{i+1})$% Примечание: $% (A' \rightarrow C) \wedge (C \rightarrow (D \leftrightarrow E)) \Rightarrow A' \rightarrow (D \leftrightarrow E) \Leftrightarrow (A' \rightarrow D) \leftrightarrow (A' \rightarrow E) $% $% 3. \ \forall x ((x \in [0, \infty) \rightarrow f(x) = x \cdot \cos(\sqrt{x})) \leftrightarrow (x \in [0, \infty) \rightarrow f(x) = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{(-1)^i}{(2i)!} \cdot x^{i+1}))$% $% \Rightarrow \forall x (x \in [0, \infty) \rightarrow f(x) = x \cdot \cos(\sqrt{x})) \leftrightarrow \forall x (x \in [0, \infty) \rightarrow f(x) = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{(-1)^i}{(2i)!} \cdot x^{i+1})$% Примечание: $% \forall x ((A'[x] \rightarrow D[x]) \leftrightarrow (A'[x] \rightarrow E[x])) \Rightarrow \forall x (A'[x] \rightarrow D[x]) \leftrightarrow \forall x (A'[x] \rightarrow E[x]) $% отвечен 24 Апр '12 23:23 
Галактион Неправильные коэффициенты разложения косинуса.
(25 Апр '12 0:05)
DocentI
1
Странное у Вас развлечение - брать давно отвеченные вопросы (ответу уже более 2 месяцев) и переписывать их с таким количеством лишних формул... Нам, простым смертным, Вас не понять...
(25 Апр '12 0:58)
DocentI
1
Искусство математики заключается не только в создании верных решений задач, но и в приведении их к красивому, лаконичному виду.
(30 Сен '12 16:59)
dmg3
То есть @Галактион привел к лаконичному виду? м-м-м-м
(30 Сен '12 21:27)
DocentI
|