$$f(x)= x\ast cos \sqrt{x}$$

задан 10 Фев '12 12:17

изменен 25 Апр '12 0:06

DocentI's gravatar image


9.8k937

10|600 символов нужно символов осталось
1

Ряд Маклорена для cosx

$$cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-...+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+..., x \in (-\infty, +\infty)$$

Тогда

$$cos\sqrt{x}=1-\frac{(\sqrt{x})^2}{2!}+\frac{(\sqrt{x})^4}{4!}-...+(-1)^n\frac{(\sqrt{x})^{2n}}{(2n)!}+...=$$ $$=1-\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{4!}-...+(-1)^n\frac{x^n}{(2n)!}+...$$

Откуда

$$xcos\sqrt{x}=x-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{4!}-...+(-1)^n\frac{x^{n+1}}{(2n)!}+...$$

ссылка

отвечен 10 Фев '12 13:27

изменен 10 Фев '12 21:19

Строго говоря, это решение нельзя считать верным. По определению ряда Маклорена- это ряд, где коэффициент при члене $%x^k$% равен $%\frac{f^{k}(0)}{k!}$%, а то, что данный ряд удовлетворяет этому условию, вы не доказали.

(30 Сен '12 16:54) dmg3

Ну, не все же строится по определению. Если ряд сходится к некоторой функции, он является ее рядом Тейлора. Так что достаточно доказать сходимость. Она следует из стандартных разложений.

(30 Сен '12 21:25) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
-1

Задача

Представить дополнение предиката $%f(x) = x \cdot \cos(\sqrt{x})$% в виде ряда Маклорена, если $%x \in [0, \infty)$%

Решение

$% 1. \ x \in \mathbb{R} \rightarrow \cos(x) = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{(-1)^i}{(2i)!} \cdot x^{2i} $%

$% \Rightarrow x \geq 0 \rightarrow (x \in \mathbb{R} \rightarrow \cos(x) = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{(-1)^i}{(2i!} \cdot x^{2i})$%

$% \Leftrightarrow x \in \mathbb{R} \wedge x \geq 0 \rightarrow \cos(x) = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{(-1)^i}{(2i)!} \cdot x^{2i}$%

$% \Leftrightarrow x \in [0, \infty) \rightarrow \cos(x) = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{(-1)^i}{(2i)!} \cdot x^{2i}$%

Примечание:

$%A \rightarrow C \Rightarrow B \rightarrow (A \rightarrow C) \Leftrightarrow A \wedge B \rightarrow C \Leftrightarrow A' \rightarrow C$%

$% 2. \ (x \in [0, \infty) \rightarrow \cos(x) = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{(-1)^i}{(2i)!} \cdot x^{2i}) \ \wedge $%

$% (\cos(x) = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{(-1)^i}{(2i)!} \cdot x^{2i} \rightarrow (f(x) = x \cdot \cos(\sqrt{x}) \leftrightarrow f(x) = x \cdot \sum_{i=0}^{\infty} \frac{(-1)^i}{(2i)!} \cdot (\sqrt{x})^{2i}))$%

$% \Rightarrow x \in [0, \infty) \rightarrow (f(x) = x \cdot \cos(\sqrt{x}) \leftrightarrow f(x) = x \cdot \sum_{i=0}^{\infty} \frac{(-1)^i}{(2i)!} \cdot (\sqrt{x})^{2i} = x \cdot \sum_{i=0}^{\infty} \frac{(-1)^i}{(2i)!} \cdot x^i)$%

$% \Leftrightarrow (x \in [0, \infty) \rightarrow f(x) = x \cdot \cos(\sqrt{x})) \leftrightarrow (x \in [0, \infty) \rightarrow f(x) = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{(-1)^i}{(2i)!} \cdot x^{i+1})$%

Примечание:

$% (A' \rightarrow C) \wedge (C \rightarrow (D \leftrightarrow E)) \Rightarrow A' \rightarrow (D \leftrightarrow E) \Leftrightarrow (A' \rightarrow D) \leftrightarrow (A' \rightarrow E) $%

$% 3. \ \forall x ((x \in [0, \infty) \rightarrow f(x) = x \cdot \cos(\sqrt{x})) \leftrightarrow (x \in [0, \infty) \rightarrow f(x) = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{(-1)^i}{(2i)!} \cdot x^{i+1}))$%

$% \Rightarrow \forall x (x \in [0, \infty) \rightarrow f(x) = x \cdot \cos(\sqrt{x})) \leftrightarrow \forall x (x \in [0, \infty) \rightarrow f(x) = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{(-1)^i}{(2i)!} \cdot x^{i+1})$%

Примечание:

$% \forall x ((A'[x] \rightarrow D[x]) \leftrightarrow (A'[x] \rightarrow E[x])) \Rightarrow \forall x (A'[x] \rightarrow D[x]) \leftrightarrow \forall x (A'[x] \rightarrow E[x]) $%

ссылка

отвечен 24 Апр '12 23:23

изменен 25 Апр '12 13:23

Неправильные коэффициенты разложения косинуса.

(25 Апр '12 0:05) DocentI
1

Извините ...

(25 Апр '12 0:55) Галактион
1

Странное у Вас развлечение - брать давно отвеченные вопросы (ответу уже более 2 месяцев) и переписывать их с таким количеством лишних формул... Нам, простым смертным, Вас не понять...

(25 Апр '12 0:58) DocentI
1

Искусство математики заключается не только в создании верных решений задач, но и в приведении их к красивому, лаконичному виду.

(30 Сен '12 16:59) dmg3

То есть @Галактион привел к лаконичному виду? м-м-м-м

(30 Сен '12 21:27) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×523
×338
×128

задан
10 Фев '12 12:17

показан
4538 раз

обновлен
30 Сен '12 21:27

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru