математический-анализ - Число точек разрыва

Функция весьма удачно подобрана, поэтому ответ в задаче получается хороший.

У g(x) одна точка разрыва: это x=1 (точнее, в этой точке функция вообще не определена, но слева и справа -- определена, и там значения односторонних пределов разные). У g(g(x)) добавится ещё точка x=2, поскольку g(2)=1. Для g(g(x)) добавляются две точки: это 3 и 1/2, переходящие в 2. На каждом новом шаге мы смотрим на прообразы только что добавленных точек. Для каждого числа x надо добавить x+1, а если x > 1, то ещё и 1/x. Легко видеть, что точки каждый раз будут новыми, так как мы берём прообразы точек, появившихся впервые.

Если на некотором шаге было k точек > 1 и m точек < 1, то на следующем будет k+m точек первого вида и k точек второго. То есть имеет место преобразование типа (k,m)->(k+m,k). Начиная со случая двух точек 3 и 1/2, получатся переходы (1,1)->(2,1)->(3,2)->(5,3)->..., то есть перед нами числа Фибоначчи. Их легко выписать целиком, указывая число добавляемых точек разрыва на шагах от 1 до 10-го: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. В сумме получится 143, что можно сосчитать непосредственно, а можно применить свойство, что это будет число Фибоначчи "через одно", из которого вычли единицу.