Функция g(x)=x-1, при x>1 и g(x)=1/x при 0<x<1. Найти число точек разрыва у функции f(x)=g^10(x) (10 раз композиция функции g)

задан 11 Дек '18 0:15

изменен 11 Дек '18 2:29

1

Надо бы проверить условие, а то в таком виде задача получается неинтересной. При 0 < x < 1 значение g(x) отрицательно, и g(g(x)) определена только при x > 1. При этом g(x)=1/x < 1, откуда g(g(x)) < 0, и уже третья итерация функции нигде не определена. То есть тут становится нечего подсчитывать.

(11 Дек '18 2:25) falcao
1

falcao, вы правы!

(11 Дек '18 2:28) Крутой парень

Я перепутал местами, сейчас поправлю

(11 Дек '18 2:28) Крутой парень
1

@Крутой парень: да, в таком виде получается довольно естественно и интересно. Надо будет посмотреть.

(11 Дек '18 2:59) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Функция весьма удачно подобрана, поэтому ответ в задаче получается хороший.

У g(x) одна точка разрыва: это x=1 (точнее, в этой точке функция вообще не определена, но слева и справа -- определена, и там значения односторонних пределов разные). У g(g(x)) добавится ещё точка x=2, поскольку g(2)=1. Для g(g(x)) добавляются две точки: это 3 и 1/2, переходящие в 2. На каждом новом шаге мы смотрим на прообразы только что добавленных точек. Для каждого числа x надо добавить x+1, а если x > 1, то ещё и 1/x. Легко видеть, что точки каждый раз будут новыми, так как мы берём прообразы точек, появившихся впервые.

Если на некотором шаге было k точек > 1 и m точек < 1, то на следующем будет k+m точек первого вида и k точек второго. То есть имеет место преобразование типа (k,m)->(k+m,k). Начиная со случая двух точек 3 и 1/2, получатся переходы (1,1)->(2,1)->(3,2)->(5,3)->..., то есть перед нами числа Фибоначчи. Их легко выписать целиком, указывая число добавляемых точек разрыва на шагах от 1 до 10-го: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. В сумме получится 143, что можно сосчитать непосредственно, а можно применить свойство, что это будет число Фибоначчи "через одно", из которого вычли единицу.

ссылка

отвечен 12 Дек '18 18:44

@falcao, спасибо!

(13 Дек '18 0:47) Крутой парень

@falcao, если возник другой вопрос при условии этого же задания, то лучше здесь в комментарии написать или новый вопрос задать?

(13 Дек '18 0:48) Крутой парень

@Крутой парень: если там что-то очень похожее, и ответить можно коротко, то лучше здесь. А если там что-то принципиально новое, то лучше отдельно.

(13 Дек '18 0:50) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,615
×126
×61
×4
×4

задан
11 Дек '18 0:15

показан
343 раза

обновлен
13 Дек '18 0:50

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru