1) Докажите, что ни одно натуральное число не может:

а) Оканчиваться на 10 и иметь ровно 10 делитетей;

б) Оканчиваться на 100 и иметь ровно 100 делитетей;

в) Оканчиваться на 1000 и иметь ровно 1000 делитетей.

2) Может ли натуральное число оканчиваться на 10000 и иметь ровно 10000 делителей?

задан 12 Дек '18 3:19

изменен 12 Дек '18 3:27

1

1.а) Если число оканчивается одним нулем, и у него ровно 10 делителей, то 10=(1+1)(4+1). Это число 2^1 5^4 или 2^4*5^1. Это числа 1250 или 80. Предпоследняя цифра не 1.

(12 Дек '18 10:28) nynko
10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть число делится на $%10^k$%. Тогда показатели степени при 2 и 5 не меньше $%k$%. Разделим число на $%10^k$%. Получится число, оканчивающееся на 1, то есть оно ни на 2, ни на 5 не делится. Это значит, что показатели степеней в обоих случаев равны $%k$%. А тогда число делителей, согласно формуле, делится на $%(k+1)^2$%. Этого не может быть при $%1\le k\le3$%, так как 10 не делится на 4, 100 не делится на 9, 1000 не делится на 16. Число $%10^4$% уже делится на $%25$%, и частное даёт 400. Легко придумать пример числа ровно с 400 делителями, оканчивающееся на 1: например, $%11^{399}$%. Тогда после домножения на $%10^4$% имеем искомый пример.

ссылка

отвечен 12 Дек '18 11:36

@falcao, большое спасибо!

(12 Дек '18 12:59) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,032
×187
×36
×15
×10

задан
12 Дек '18 3:19

показан
123 раза

обновлен
12 Дек '18 12:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru