Какие степени десятки с ЦНП (Целым Неотрицательным Показателем) представимы в виде суммы факториала и удвоенного квадрата?

Иными словами, решите уравнение в ЦНЧ (Целых Неотрицательных Числах): $$n!+2m^2=10^k$$

задан 13 Дек '18 18:11

@Казвертеночка: по-моему, без факториалов было бы лучше. Ясно, что n < 3 из соображений делимости на 3. Случай n!=1 влечёт k=0 из соображений чётности. Интерес представляет только уравнение для n=2, и можно было только его и оставить. Оно интересное -- там решения m=2, k=1 и m=7, k=2. Других вроде бы нет, но это надо ещё доказать. У меня есть пока только идея использования арифметики чисел из Z[i].

(13 Дек '18 21:12) falcao
1

@falcao, как всегда, там намного проще.

(13 Дек '18 21:56) Пацнехенчик ...
1

@Пацнехенчик ...: проще или нет, но частный случай n=2 всё равно возникает, и он здесь как бы основной. Я к тому, что им можно было и ограничиться -- независимо от способа дальнейшего решения.

(13 Дек '18 22:06) falcao

@falcao, а что такое Z[i]? Гауссовы целые числа?

(14 Дек '18 0:43) Казвертеночка
1

@Казвертеночка: да, конечно. Это обычное обозначение.

(14 Дек '18 0:51) falcao

@falcao, эта задача вполне подходит среднеклассникам, так что Гауса оставим для более трудных задач. Кстати, ума не приложу, как Вы собирались доказывать с помощью Z[i]...

(14 Дек '18 3:03) Казвертеночка
1

@Казвертеночка: сам по себе метод разложения на множители сумм квадратов достаточно стандартен. Но здесь это не нужно, так как есть очевидный аргумент, мимо которого я почему-то прошёл. А именно, уравнение имеет вид $%m^2+1=2^{k-1}5^k$%, и при $%k\ge3$% у него решений нет из соображений остатков от деления на 4.

(14 Дек '18 9:25) falcao

@falcao, совершенно верно! Числа 4 и 49 - квадраты, а вот 499, 4999 и т. д. уже квадратами не будут, так как дарамдаш остаток 3 при делении на 4.

(14 Дек '18 14:35) Казвертеночка
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,405
×272
×156
×62
×19

задан
13 Дек '18 18:11

показан
386 раз

обновлен
14 Дек '18 14:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru