Найти сумму всех натуральных двузначных чисел $%n$%, для которых число $% \sqrt{n+ \sqrt{n+ \sqrt{n+ \sqrt{n+....} } } }$% является целым.

Мне кажется в условиях ошибка:

Должно быть: $%\sqrt{n+ \sqrt{n\sqrt{n \sqrt{n....} }} }$% и тогда задача решается просто.

$%{\sqrt{n\sqrt{n \sqrt{n....}}}} =n^{ \frac{1}{2} }\cdot n^{ \frac{1}{4} } \cdot n^{ \frac{1}{8} }...$%. Показатели степени складываются получается сумма бесконечно убывающей прогрессии, которая равна 1 и тогда получается выражение: $%\sqrt{2n}=k$% . Откуда легко находим двузначные $%n=18; 32; 50; 72; 98$%. Их сумма будет равна $%270$%. А в задаче. которая в первоначальном условии я не знаю что делать и как рассуждать. Заранее благодарен. С уважением.

задан 15 Дек '18 18:36

изменен 15 Дек '18 19:49

%D0%9A%D0%B0%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%B5%D0%BD%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B0's gravatar image


5.4k210

1

@serg55: нет оснований считать условие ошибочным, так как для сложений это вполне стандартная задача на нахождение предела. При этом надо начать с доказательства его существования.

(15 Дек '18 18:58) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

Для начала желательно обосновать, что выражение с бесконечным числом радикалов имеет смысл. Это более или менее стандартная задача. Следует считать, что это число -- предел последовательности чисел с увеличивающимся количеством радикалов. Она возрастает, и ограничена сверху, например, числом n+1, что доказывается по индукции. Для первого числа это верно (sqrt(n) < n+1); если это верно для какого-то члена, и он меньше n+1, то следующий меньше sqrt(2n+1) < n+1.

Таким образом, для каждого натурального n определено x=x(n). Оно положительно и удовлетворяет уравнению x^2-n=x. Оно легко решается, но здесь достаточно заметить, что n=x(x-1). Если x целое, то n должно быть целым двузначным, откуда 4<=x<=10. Чисел немного; их легко выписать и просуммировать: 12+20+30+42+56+72+90=322.

ссылка

отвечен 15 Дек '18 18:57

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,339
×1,092
×693
×227
×146

задан
15 Дек '18 18:36

показан
306 раз

обновлен
15 Дек '18 19:49

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru