Найти т. пересечения образующих поверхности: x^2+y^2-z^2=1, по которым ее пересекает плоскость, параллельная x-y+z+1=0. Определить угол между образующими.

задан 16 Дек '18 17:29

изменен 18 Дек '18 21:45

Проще всего взять учебник аналитической геометрии и посмотреть этот материал. Там вид образующих устанавливается явно. Или вот по этой ссылке можно посмотреть, хотя она и не лучшая, скорее всего.

Зная направляющие векторы прямых, угол находим через скалярное произведение.

(16 Дек '18 17:58) falcao

x=x0+at

y=y0+bt

z=z0+vt

Подставляем в уравнение гиперболоида, получаем

(a^2-b^2)t^2+(2x0a-2y0b-2v)t=0 (свободные член=0)

Тогда

a^2-b^2=0

2x0a-2y0b-2v=0

Дальше у меня ступор...

(18 Дек '18 21:31) sayyo

@sayyo: такой способ решения возможен, но надо учесть, что точка (x0,y0,z0) принадлежит поверхности, а также то, что прямая параллельна проводимой плоскости. Получается система из многих уравнений с большим числом неизвестных. Но тут есть очень простой способ, который я сейчас изложу вместо предлагаемого рассуждения.

(18 Дек '18 21:45) falcao

А эти два уравнения у меня правильно записаны:

a^2-b^2=0

2x0a-2y0b-2v=0?

А какое еще уравнение нужно добавить?

(18 Дек '18 22:14) sayyo

Я уже использовал факт, что точка принадлежит поверхности

(18 Дек '18 22:15) sayyo

@sayyo: я изложил Вам своё решение. Если по нему есть вопросы, готов ответить. Доводить до конца не свои "проекты" я не люблю. Если хотите, решите своим способом сами. Совпадёт с ответом -- значит, верно.

Заметьте, что у Вас неизвестных 6 штук, а у меня только одна. Если есть прямая дорога, то не вижу смысла ходить через "бурелом" :)

(18 Дек '18 23:09) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
0

Параллельная плоскости имеет уравнение $%x+y-z=c$%. Константу надо подобрать так, чтобы в пересечении получилась пара пересекающихся прямых. Выражаем $%z$%, подставляя в уравнение поверхности. Получается $%x^2+y^2=1+(x+y-c)^2$%. Упрощая, имеем $%2xy-2c(x+y)+c^2+1=0$%, то есть $%xy-c(x+y)=-\frac{c^2+1}2$%. Прибавляем $%c^2$% к обеим частям, и раскладываем левую часть на множители: $%(x-c)(y-c)=\frac{c^2-1}2$%. Если правая часть не равна нулю, то в сечении получается гипербола с двумя ветвями. Поэтому $%c=\pm1$%. При этом либо $%x=c$%, $%y$% любое (одна прямая), либо $%x$% любое, $%y=c$% (вторая прямая). В обоих случаях $%z=x+y-c$%, что даёт два уравнения прямых $%x=c$%, $%y=y$%, $%z=y$% и $%x=x$%, $%y=c$%, $%z=x$% для каждого из двух значений констант.

Точки первой прямой имеют вид $%(x,y,z)=(c,y,y)=(c,0,0)+y(0,1,1)$%, а для второй прямой $%(x,y,z)=(x,c,x)=(0,c,0)+x(1,0,1)$%. Косинус угла между направляющими векторами равен $%\frac12$%, то есть угол между прямолинейными образующими равен 60 градусам как при $%c=1$%, так и при $%c=-1$%.

ссылка

отвечен 18 Дек '18 21:56

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×777
×35

задан
16 Дек '18 17:29

показан
121 раз

обновлен
18 Дек '18 23:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru