аналитическая-геометрия - Образующие однополостного гиперболоида

Параллельная плоскости имеет уравнение $%x+y-z=c$%. Константу надо подобрать так, чтобы в пересечении получилась пара пересекающихся прямых. Выражаем $%z$%, подставляя в уравнение поверхности. Получается $%x^2+y^2=1+(x+y-c)^2$%. Упрощая, имеем $%2xy-2c(x+y)+c^2+1=0$%, то есть $%xy-c(x+y)=-\frac{c^2+1}2$%. Прибавляем $%c^2$% к обеим частям, и раскладываем левую часть на множители: $%(x-c)(y-c)=\frac{c^2-1}2$%. Если правая часть не равна нулю, то в сечении получается гипербола с двумя ветвями. Поэтому $%c=\pm1$%. При этом либо $%x=c$%, $%y$% любое (одна прямая), либо $%x$% любое, $%y=c$% (вторая прямая). В обоих случаях $%z=x+y-c$%, что даёт два уравнения прямых $%x=c$%, $%y=y$%, $%z=y$% и $%x=x$%, $%y=c$%, $%z=x$% для каждого из двух значений констант.

Точки первой прямой имеют вид $%(x,y,z)=(c,y,y)=(c,0,0)+y(0,1,1)$%, а для второй прямой $%(x,y,z)=(x,c,x)=(0,c,0)+x(1,0,1)$%. Косинус угла между направляющими векторами равен $%\frac12$%, то есть угол между прямолинейными образующими равен 60 градусам как при $%c=1$%, так и при $%c=-1$%.