Факторкольца Z[x]/(x^2-2) и Z[x]/(x^2-3) - Изоморфны ли?

задан 16 Дек '18 22:23

изменен 16 Дек '18 22:32

Не изоморфны. См. здесь. В одном кольце уравнение X^2=3 имеет решение, в другом не имеет. По ссылке Q вместо Z, но случай Z ещё проще.

(16 Дек '18 22:29) falcao

@falcao, то есть в данном случае в одном кольце решение +-sqrt(3) и если его подставить в первое, то не получится верное равенство? x^2-2=0

(16 Дек '18 22:45) san123

@san123: нет, немного не так. При изоморфизме решение переходит в решение. Если бы в первом кольце уравнение X^2=3 решение имело, то оно приняло бы вид (a+b\sqrt2)^2=3 для некоторых целых a,b. Однако по ссылке доказывается, что даже в рациональных числах такое уравнение решений не имеет.

(16 Дек '18 23:06) falcao

@falcao, а вид (a+bsqrt2) для x^2-2 получается если в общем случае разложить уравнение a^2-2b=0 на множители?

(16 Дек '18 23:13) san123

@falcao, или в выражении (a+b\sqrt2)^2=3 вы имели в виду не (a+b*sqrt2)^2=3?

(17 Дек '18 10:10) san123

@san123: я имел в виду $%(a+b\sqrt2)^2=3$%. Знак умножения обычно опускается, а "косая черта" проникла как часть команды TeX'а.

(17 Дек '18 11:20) falcao

@falcao, а вид (a+bsqrt2) для x^2-2 получается если в общем случае разложить уравнение a^2-2b=0 на множители?

(17 Дек '18 21:08) san123

@san123: я использую то, что факторкольцо по главному идеалу (x^2-2) изоморфно кольцу элементов вида a+bsqrt(2). Это достаточно стандартно, а если нужно длинное формальное обоснование, то посмотрите написанный только что ответ, где говорится про идеал (x^2+2).

Ваше обоснование указывает на определённую связь, но его не достаточно.

(17 Дек '18 21:18) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×53

задан
16 Дек '18 22:23

показан
200 раз

обновлен
17 Дек '18 21:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru