Построить факторкольцо R/I, где R = Z[x] - многочлены с целыми коэффициентами, а I = (x^2 + 2)Z[x] Описать классы факторкольца и операции в нём. Описать гомоморфизм кольца R на факторкольцо R/I. Имеются ли в R и в R/I делители нуля? Является ли факторкольцо R/I полем? Какому кольцу изоморфно факторкольцо R/I?

То, что подмножетсво I является идеалом уже доказала. Помогите хотя бы с первым вопросом, пожалуйста...

задан 17 Дек '18 17:29

10|600 символов нужно символов осталось
0

Факторкольца по главным идеалам устроены так: два многочлена определяют один класс тогда и только тогда, когда их разность делится на порождающий идеала -- в данном случае на $%x^2+2$%. Поэтому каждый класс (элемент факторкольца) состоит из всех многочленов, дающий при делении на $%x^2+2$% один и тот же остаток вида $%a+bx$%, где $%a,b\in\mathbb Z$%. Тогда можно элементы факторкольца с этими остатками и отождествить, а операции устроены так: складываем или умножаем многочлены, и берём остаток для суммы или произведения.

Для суммы всё совсем просто: $%(a+bx)+(c+dx)=(a+c)+(b+d)x$%. Для произведения временно имеем $%(a+bx)(c+dx)=ac+(ad+bc)x+bdx^2$%, где $%x^2$% надо заменить на $%-2$%, беря остаток. Получится такая операция: $%(a+bx)(c+dx)=(ac-2bd)+(ad+bc)x$%.

Можно сразу сказать, какому кольцу эта структура изоморфна: при $%x=\sqrt{-2}=i\sqrt2$% все выписанные равенства становятся верными, что фактически означает наличие изоморфизма факторкольца $%R/I$% с кольцом комплексных чисел вида $%a+bi\sqrt2$%, где $%a$%, $%b$% целые.

Более формально, можно рассуждать через теорему о гомоморфизмах. А именно, рассмотрим отображение из $%\mathbb Z[x]$% в $%\mathbb C$%, сопоставляя каждому многочлену $%f(x)$% его значение $%f(i\sqrt2)$% в точке $%x=i\sqrt2$%. Образ состоит в точности из описанных в предыдущем абзаце элементов. Что касается ядра, то если $%f$% ему принадлежит, то $%f(i\sqrt2)=0$%, то есть $%x=i\sqrt2$% является корнем для $%f$%. Поскольку многочлен имеет вещественные коэффициенты, сопряжённое число $%x=-i\sqrt2$% также будет корнем. Тогда по теореме Безу, $%f(x)$% делится на $%x-i\sqrt2$% и на $%x+i\sqrt2$%, а потому делится и на их произведение $%(x-i\sqrt2)(x+i\sqrt2)=x^2+2$%. Надо заметить, что частное будет иметь целые коэффициенты, поскольку при делении "столбиком" на $%x^2+2$% только они и будут появляться (старший коэффициент равен 1).

Таким образом, ядро состоит в точности из всех многочленов, делящихся на $%x^2+2$%, которые образуют идеал $%I$%. По теореме о гомоморфизмах, факторкольцо $%R/I$% изоморфно образу, то есть кольцу, описанному выше.

Делителей нуля в факторкольце нет, так как оно изоморфно подкольцу поля $%\mathbb C$%. Само оно полем не будет, так как элемент $%2$% в кольце не имеет обратного.

ссылка

отвечен 17 Дек '18 21:14

Спасибо огромное, просто огромнейшее!!!!

(21 Дек '18 12:06) yulyamah
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×234
×43
×43

задан
17 Дек '18 17:29

показан
190 раз

обновлен
21 Дек '18 12:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru