Вот есть три понятия: линейный функционал, линейный оператор и линейное отображение, эквивалентны ли они друг другу?

задан 30 Апр '13 17:00

изменен 30 Апр '13 20:43

Angry%20Bird's gravatar image


9125

Или же это зависит от того, в каком контексте это все звучит?

(30 Апр '13 17:05) beraliv
10|600 символов нужно символов осталось
2

Функционал и оператор - это частные случаи отображения. Под функционалом понимают отображение функционального пространства на числовое множество. Под оператором - отображение функционального пространства в функциональное же. При этом каждый элемент функционального пространства - это функция, т.е. тоже отображение (одного метрического пространства в другое). Эти определения действуют как для линейных, так и для нелинейных отображений. Но при рассмотрении только линейных отображений оказывается, что любое функциональное пространство можно рассматривать как векторное (линейное), поэтому под линейным оператором часто понимают просто линейное отображение векторного пространства на себя.

Дополнение 1 (ответ на комментарий @falcao).
По поводу предлогов "на" и "в" согласен, действительно, множество образов может не составлять пространства, а быть только некоторой его частью. Отредактировал.
Что касается отображений $%\mathbb{R^n} \rightarrow \mathbb{R}$%, то действительно, в линейной алгебре они называются функционалами, хотя, по сути, являются просто скалярными функциями векторного аргумента. Называть их функционалам, с моей точки зрения, можно только имея в виду, что радиус-вектор в $%\mathbb{R^n}$% - это не просто вектор, а вектор коэффициентов разложения некоторой функции по некоторому базису. В противном случае никакого смысла во введении термина "функционал" вместо термина "скалярная функция" я не вижу. Что же касается функционалов и операторов, заданных на множествах каких-то других (не точечных) функций - это уже относится к области обобщений понятий "функционал" и "оператор". И тут нужно конкретно смотреть, насколько каждое такое обобщение корректно. Например, если мы перенумеруем все бинарные логические функции, то получим отображение множества логических функций на множество чисел (номеров). Но я бы не стал называть такое отображение функционалом.

Дополнение 2 (ответ на комментарий @falcao).
Полностью согласен, что необходимость терминов "функционал" и "оператор" связана с необходимостью как-то назвать отображения из функциональных пространств так, чтобы отображаемые элементы и сами отображения четко различались.
Да, так исторически сложилось, что элементы сопряженных линейных пространств тоже называются функционалами. Но это просто так сложилось. Можно было бы, действительно, обойтись термином "ковектор".

ссылка

отвечен 1 Май '13 19:14

изменен 3 Май '13 1:09

Есть два замечания. Предлог "на" по отношению к отображениям означает сюръективность. В общем случае принято говорить об отображении множества $%X$% в $%Y$%. Скажем, оператор проекции плоскости на прямую не есть отображение на себя. Второе: линейные пространства, на которых рассматриваются операторы и функционалы, очень часто состоят из функций, но далеко не всегда. Линейный функционал можно задать, например, на $%{\mathbb R}^n$% или на чём-то ещё. Далее, функции могут иметь более общий вид, то есть они вовсе не обязаны относиться к метрическим пространствам.

(1 Май '13 21:26) falcao

@Андрей Юрьевич: сама необходимость введения термина "функционал" вызвана понятным обстоятельством -- она сам является функцией, то если линейное пространство состоит из функций, то желательно как-то различать одно и другое. Но в итоге оказывается, что мы всё равно имеем дело с отображением из $%V$% в $%{\mathbb R}$%, и термин уже введён, поэтому проще не вводить ничего дополнительного. А сами эти объекты возникают часто, и сопряжённое пространство рассматривается часто, поэтому разумно считать функционалом элемент из $%V^*$%. Также подходит термин "ковектор". Все эти отображения линейны.

(2 Май '13 19:13) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Отображение является обобщающим понятием... например, если говорить про векторные пространства, то функционал - это отображение $%\mathbb{V} \to \mathbb{R}$%... а оператор - это отображение $%\mathbb{V} \to \mathbb{V}$% (хотя здесь возможны варианты и с разными пространствами)...

То есть функционал и оператор не эквивалентны друг другу... если только не рассматривать числовое множество как векторное пространство...

ссылка

отвечен 30 Апр '13 17:35

изменен 30 Апр '13 17:38

10|600 символов нужно символов осталось
0

Это близкие, но не тождественные понятия. Если дано два векторных пространства (скажем, над $%{\mathbb R}$%), то имеет смысл говорить о линейном отображении одного пространства в другое. Если речь об отображении пространства в себя, то можно говорить о линейном операторе. Если рассматривается линейное отображение в $%{\mathbb R}$% (которое является одномерным векторным пространством), то говорят о линейном функционале.

ссылка

отвечен 30 Апр '13 18:02

Оператор не обязательно отображает пространство на себя...

(30 Апр '13 18:26) all_exist

@all_exist: Вы правы в том отношении, что оператором иногда называют линейное отображение векторных пространств. Но мне кажется, лучше это понятие зарезервировать под отображение из V в V. По крайней мере, это больше соответствует духу современной математики. Аналогичная ситуация возникает вокруг понятия бинарного отношения. Я предпочитаю называть этим словом подмножество декартова квадрата, а если речь о подмножестве декартова произведения, то это бинарное соответствие. Различия в такого рода вещах хотя и отдают "вкусовщиной", но я этому привык придавать значение.

(30 Апр '13 18:42) falcao
1

"Но мне кажется, лучше это понятие зарезервировать под отображение из V в V. По крайней мере, это больше соответствует духу современной математики." - Ну, может я не в струе современной математики, но, например, дифференцирование у меня стойко ассоциированно с понятием оператора действующего из $%C^1(a;b)$% в $%C(a;b)$%...

(30 Апр '13 18:49) all_exist

@all_exist: в принципе, такое словоупотребление допустимо, хотя я бы предпочёл говорить в этом случае о линейном отображении. Так или иначе, слово "оператор" можно употреблять в двояком смысле, хотя вот термин "преобразование" я бы жёстко связал с отображением множества в себя. Почти все эти вещи относятся к сфере соглашений.

(30 Апр '13 18:56) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,253
×393

задан
30 Апр '13 17:00

показан
2548 раз

обновлен
3 Май '13 1:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru