|
Вот есть три понятия: линейный функционал, линейный оператор и линейное отображение, эквивалентны ли они друг другу? задан 30 Апр '13 17:00 
beraliv |
|
Функционал и оператор - это частные случаи отображения. Под функционалом понимают отображение функционального пространства на числовое множество. Под оператором - отображение функционального пространства в функциональное же. При этом каждый элемент функционального пространства - это функция, т.е. тоже отображение (одного метрического пространства в другое). Эти определения действуют как для линейных, так и для нелинейных отображений. Но при рассмотрении только линейных отображений оказывается, что любое функциональное пространство можно рассматривать как векторное (линейное), поэтому под линейным оператором часто понимают просто линейное отображение векторного пространства на себя. Дополнение 1 (ответ на комментарий @falcao). Дополнение 2 (ответ на комментарий @falcao). отвечен 1 Май '13 19:14 
Андрей Юрьевич Есть два замечания. Предлог "на" по отношению к отображениям означает сюръективность. В общем случае принято говорить об отображении множества $%X$% в $%Y$%. Скажем, оператор проекции плоскости на прямую не есть отображение на себя. Второе: линейные пространства, на которых рассматриваются операторы и функционалы, очень часто состоят из функций, но далеко не всегда. Линейный функционал можно задать, например, на $%{\mathbb R}^n$% или на чём-то ещё. Далее, функции могут иметь более общий вид, то есть они вовсе не обязаны относиться к метрическим пространствам.
(1 Май '13 21:26)
falcao
@Андрей Юрьевич: сама необходимость введения термина "функционал" вызвана понятным обстоятельством -- она сам является функцией, то если линейное пространство состоит из функций, то желательно как-то различать одно и другое. Но в итоге оказывается, что мы всё равно имеем дело с отображением из $%V$% в $%{\mathbb R}$%, и термин уже введён, поэтому проще не вводить ничего дополнительного. А сами эти объекты возникают часто, и сопряжённое пространство рассматривается часто, поэтому разумно считать функционалом элемент из $%V^*$%. Также подходит термин "ковектор". Все эти отображения линейны.
(2 Май '13 19:13)
falcao
|
|
Отображение является обобщающим понятием... например, если говорить про векторные пространства, то функционал - это отображение $%\mathbb{V} \to \mathbb{R}$%... а оператор - это отображение $%\mathbb{V} \to \mathbb{V}$% (хотя здесь возможны варианты и с разными пространствами)... То есть функционал и оператор не эквивалентны друг другу... если только не рассматривать числовое множество как векторное пространство... отвечен 30 Апр '13 17:35 
all_exist |
|
Это близкие, но не тождественные понятия. Если дано два векторных пространства (скажем, над $%{\mathbb R}$%), то имеет смысл говорить о линейном отображении одного пространства в другое. Если речь об отображении пространства в себя, то можно говорить о линейном операторе. Если рассматривается линейное отображение в $%{\mathbb R}$% (которое является одномерным векторным пространством), то говорят о линейном функционале. отвечен 30 Апр '13 18:02 
falcao Оператор не обязательно отображает пространство на себя...
(30 Апр '13 18:26)
all_exist
@all_exist: Вы правы в том отношении, что оператором иногда называют линейное отображение векторных пространств. Но мне кажется, лучше это понятие зарезервировать под отображение из V в V. По крайней мере, это больше соответствует духу современной математики. Аналогичная ситуация возникает вокруг понятия бинарного отношения. Я предпочитаю называть этим словом подмножество декартова квадрата, а если речь о подмножестве декартова произведения, то это бинарное соответствие. Различия в такого рода вещах хотя и отдают "вкусовщиной", но я этому привык придавать значение.
(30 Апр '13 18:42)
falcao
1
"Но мне кажется, лучше это понятие зарезервировать под отображение из V в V. По крайней мере, это больше соответствует духу современной математики." - Ну, может я не в струе современной математики, но, например, дифференцирование у меня стойко ассоциированно с понятием оператора действующего из $%C^1(a;b)$% в $%C(a;b)$%...
(30 Апр '13 18:49)
all_exist
@all_exist: в принципе, такое словоупотребление допустимо, хотя я бы предпочёл говорить в этом случае о линейном отображении. Так или иначе, слово "оператор" можно употреблять в двояком смысле, хотя вот термин "преобразование" я бы жёстко связал с отображением множества в себя. Почти все эти вещи относятся к сфере соглашений.
(30 Апр '13 18:56)
falcao
|
Или же это зависит от того, в каком контексте это все звучит?