Пусть функция $%f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$% непрерывна на отрезке $% [0,1]$% , дифференцируема в интервале $%(0,1)$% и $%f(0)=0, f(1)=1 $%. Доказать, что в интервале $%(0,1)$% существует, точка $%c$% такая, что $$f'(c)= \frac{\pi}{4}(1+f^2(c)). $$

задан 19 Дек '18 1:42

10|600 символов нужно символов осталось
1

Предположим, что такой точки $%c$% не существует, следовательно, функция должна удовлетворять неравенству, например,
$$ f'(x) < \frac{\pi}{4}\cdot\Big(1+f^2(x)\Big)\quad \forall x\in (0;1) $$ Тогда $$ \frac{f'(x)}{1+f^2(x)} < \frac{\pi}{4} $$ Интегрируем неравенство $$ \int\limits_{0}^{1} \frac{f'(x)}{1+f^2(x)} \; dx < \int\limits_{0}^{1} \frac{\pi}{4} \; dx $$ и приходим к противоречию...

ссылка

отвечен 20 Дек '18 0:41

@all_exist: я рассуждал точно так же, но меня смутило, что в условии не дана непрерывная дифференцируемость. Без неё мы не можем считать, что если нигде нет равенства, то всюду имеет место неравенство одного и того же знака.

Не знаю, имелось ли в виду другое рассуждение, или просто в условии пропустили свойство C^1.

(20 Дек '18 2:25) falcao

@falcao, или просто в условии пропустили свойство C^1. - возможно так и есть... но дождёмся слов ТС...

(20 Дек '18 9:50) all_exist

@all_exist: я сейчас подумал, что достаточно взять функцию arctg(f(x)), и применить к ней теорему Лагранжа о конечных приращениях. Тогда условие C^1 уже не нужно.

(21 Дек '18 3:37) falcao

@falcao, Тогда условие C^1 уже не нужно. - почему?...

(21 Дек '18 13:46) all_exist

@all_exist: в теореме Лагранжа его нет - там достаточно просто дифференцируемости на интервале.

(21 Дек '18 14:26) falcao

@falcao, аааа... произошло наложение при восприятии теорем из разных разделов... ((((

(21 Дек '18 14:50) all_exist
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×147
×60
×25

задан
19 Дек '18 1:42

показан
185 раз

обновлен
21 Дек '18 14:50

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru