0
1

Здравствуйте, нужна помощь в понимании построения образа области при каком-либо отображении. Например, есть задание "Найти образ области D={0<Re(z)<1} при отображении w=e^(-z)". Т.е. сначала я строю график, где у меня получится область от 0 до 1 по оси Ох (к сожалению, добавить рисунок у меня нет возможности). А вот что дальше? Мне нужно брать точки с границ или сами границы, обозначив их двумя точками и получив отрезки? И какие точки следует брать, если неравенство не строгое, т.е. границы не входят в область? Дальше мы находим отображения, подставив точки(отрезки) в w. Но если в случае точек мы еще находим коэффициенты по формуле и все это подставляем в u^2+v^2+cu+dv+f=0 и упростив получаем формулу для построения итогового графика (Кстати, как изначально понять, во что перейдет наш график?), то в случае с отрезками как поступать? Помогите, пожалуйста!!! Буквально крик души, пересмотрела несколько книг, в них ответа не нашла, от преподавателя помощи тоже нет. Вся надежда на вас!!!

задан 21 Дек '18 0:00

10|600 символов нужно символов осталось
0

Если мы знаем, куда переходит граница области, то далее нетрудно понять, куда перейдёт и сама область. Здесь граница состоит из двух частей: x=0 и x=1 (для z=x+iy). При x=0 имеем z=iy, где y любое вещественное. Тогда e^{-z}=e^{-iy}, а это единичная окружность. При x=1 получается z=1+iy, и тогда e^{-z}=e^{-1-iy}=e^{-1}e^{-y}, то есть будет окружность радиусом e^{-1}.

Отсюда нетрудно вывести, что полоса между прямыми x=0, x=1, перейдёт во внутренность кольца между двумя окружностями. Неравенства строгие, поэтому сами границы в область не входят, и их нужно дать пунктиром.

Здесь есть одна тонкость: теоретически возможно, что могла получиться внешняя часть области (не кольцо, а его дополнение), и такое иногда случается. Тогда можно по какой-то одной "пробной" точке области (например, z=1/2) проверить, куда переходит вся область.

Для нестрогих неравенств границы будут входить, и тогда они рисуются сплошной линией.

ссылка

отвечен 21 Дек '18 0:19

@falcao такс, в части выбора точек почти разобралась. Какие мы берем точки, если неравенство не строгое? И как мы можем изначально узнать, во что перейдет наша область? Как Вы из e^{-iy} поняли, что это окружность? Прошу прощения, что так заваливаю Вас вопросами, просто очень хочу в этом разобраться

(21 Дек '18 0:50) Lastik

@Lastik: строгое неравенство или нестрогое -- это влияет только на включение или невключение границы. Это вопрос простой, и на нём можно внимание не акцентировать.

То, что точки единичной окружности имеют вид e^{iф} -- это простейший факт, который следует из понятия тригонометрической (или экспоненциальной) формы комплексного числа. Это всё изучается в первом семестре задолго до ТФКП, и это нужно в деталях знать. Поэтому полезно перечитать те главы учебников, где говорится об элементарных свойствах комплексных чисел.

Если область ограничена линиями, то её образ ограничен образами линий.

(21 Дек '18 0:58) falcao

@falcao хорошо, тогда займусь повторением А если, например, есть такая область D={|z|>1/2;Re(z)>0},w=z^2. Получается область в 1 и 4 четвертях, за исключением окружности (0;0),r=1/4. На паре получились точки: z=iy; z=1/2 e^(iф); z=re^(-(i*pi)/2) Как они получились?

(21 Дек '18 1:21) Lastik

@Lastik: граница области состоит из лучей и дуги. Лучи параметризуем. Верхний луч даёт z=iy при y>=1. После возведения в квадрат понятно что будет. Условие z=(1/2)e^{iф} при ф от -п/2 до п/2 задаёт дугу (это не точки, а множества точек). В квадрате будет (1/4)e^{2iф} -- окружность радиуса 1/4. Нижний луч -- это z=-iy, его квадрат как и первого луча. Последнее равенство z=re^(-(i*pi)/2) означает z=-ir, но его роль мне непонятна. Может быть, это нижний луч так "хитро" записали.

В общем, там будет вся плоскость с вырезанным кругом и отрицательным лучом.

(21 Дек '18 3:26) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,424
×452
×362
×144

задан
21 Дек '18 0:00

показан
155 раз

обновлен
21 Дек '18 3:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru