|
Можно применить метод мат индукции... База проверяется очевидным образом... А в доказательстве индуктивного перехода получаем неравенство $%2<(1+1/n)^n$%, которое легко проверяется... Ну, ещё один способ.... достаточно вспомнить (или доказать), что $%a\;b \le \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$%, причём равенство выполняется только при $%a=b$%... Тогда $$n! = (1\cdot n)\cdot(2\cdot (n-1))\cdot(3\cdot (n-2))\cdot\ldots < \left(\frac{1+n}{2}\right)^2\left(\frac{1+n}{2}\right)^2\cdot\ldots $$ и остаётся только порассуждать про чётные и нечетные значения $%n$%... отвечен 30 Апр '13 21:05 
all_exist |
|
Согласно неравенсту Коши, при $%n>1$% имеем $$\frac{1+2+3+...+n}n>\sqrt[n]{1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot n}\Rightarrow \frac{1+n}2>\sqrt[n]{n!} \Rightarrow n!<\left(\frac{1+n}2\right)^n$$ отвечен 30 Апр '13 21:46 
ASailyan |
