$$n!<((n+1)/2)^n$$ при n>1

задан 30 Апр '13 20:48

изменен 1 Май '13 1:14

Angry%20Bird's gravatar image


9125

10|600 символов нужно символов осталось
0

Можно применить метод мат индукции... База проверяется очевидным образом... А в доказательстве индуктивного перехода получаем неравенство $%2<(1+1/n)^n$%, которое легко проверяется...

Ну, ещё один способ.... достаточно вспомнить (или доказать), что $%a\;b \le \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$%, причём равенство выполняется только при $%a=b$%...

Тогда $$n! = (1\cdot n)\cdot(2\cdot (n-1))\cdot(3\cdot (n-2))\cdot\ldots < \left(\frac{1+n}{2}\right)^2\left(\frac{1+n}{2}\right)^2\cdot\ldots $$ и остаётся только порассуждать про чётные и нечетные значения $%n$%...

ссылка

отвечен 30 Апр '13 21:05

изменен 30 Апр '13 21:42

10|600 символов нужно символов осталось
2

Согласно неравенсту Коши, при $%n>1$% имеем $$\frac{1+2+3+...+n}n>\sqrt[n]{1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot n}\Rightarrow \frac{1+n}2>\sqrt[n]{n!} \Rightarrow n!<\left(\frac{1+n}2\right)^n$$

ссылка

отвечен 30 Апр '13 21:46

изменен 1 Май '13 0:12

1

Оригинальное решение, спасибо

(30 Апр '13 21:56) SenjuHashirama
10|600 символов нужно символов осталось
0

Попробуйте применить метод математической индукции и неравенство $%\left(1+\dfrac{1}{n} \right)^n > 2, \quad n \geqslant{2}.$%

ссылка

отвечен 30 Апр '13 21:03

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,069

задан
30 Апр '13 20:48

показан
2517 раз

обновлен
1 Май '13 0:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru