Докажите, что произведение 10 последовательных натуральных чисел не может быть точным квадратом.

задан 22 Дек '18 12:48

1

Вообще ни для какого кол-ва последовательных чисел не может, но это сложнее доказывать.

(22 Дек '18 13:09) knop
10|600 символов нужно символов осталось
3

Среди 10 чисел не более четырех кратны 5 и 7 и не более одного не кратно никакому простому меньшему 10, поэтому минимум пять чисел должны иметь вид $%2^a 3^b c^2$% где c - любое натуральное число. Среди пяти чисел по принципу Дирихле у каких-то двух совпадает чётность пары $%(a,b)$%.

Рассмотрим случаи.

  1. Есть два числа с чётными показателями a и b. То есть два полных квадрата. Так как разность между ними не превосходит 9, то меньший из них должен быть равен 4, 9 или 16. Во всех случаях нужного произведения 10 чисел не существует.

  2. Есть пара чисел с чётным a и нечётным b. Тогда есть два утроенных квадрата. Так как разность между ними также не больше 9, то меньший из них должен быть равен 3. Снова неудача.

  3. Есть пара чисел с нечётным а и чётным b. То есть два удвоенных квадрата. Следовательно, меньшее равно 2. Опять не вышло.

  4. Есть пара с нечётными a и b, то есть два числа вида $%6k^2$%. Здесь вообще ни одного решения с разностью меньше 10 не бывает.

ссылка

отвечен 22 Дек '18 13:35

изменен 22 Дек '18 13:36

@knop, большое спасибо! Оказывается, эта задача не такая уж и простая.

(22 Дек '18 19:19) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,389
×295
×37
×2
×1

задан
22 Дек '18 12:48

показан
328 раз

обновлен
22 Дек '18 19:19

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru