1/e^x *(ln [1+(ln[1+10/e^x])/x] ) (x-> +inf)

задан 22 Дек '18 22:50

изменен 22 Дек '18 22:56

@sayyo: тут довольно трудно разобрать, что на что делится, и что на что умножается.

(22 Дек '18 23:04) falcao

Первоначальный предел: ((ln(10+e^x))/x)^(sqrt(e^2x+10))

(22 Дек '18 23:44) sayyo

@sayyo: ответом будет 1. Достаточно доказать, что логарифм предела равен нулю. Прежде всего, ln(10+e^x)=x+ln(1+10e^{-x}). После деления на x будет 1+ln(...)/x. Второе слагаемое стремится к нулю. После логарифмирования, величина будет ему эквивалентна, что даст 10e^{-x}/x. Квадратный корень равен e^x*sqrt(1+10e^{-2x})~e^x(1+5e^{-2x})~e^x. Перемножение даст 10/x, что стремится к нулю.

(23 Дек '18 0:06) falcao

А как доказать, что ln(...)/x стремится к нулю?

(23 Дек '18 0:15) sayyo

И еще:e^x*sqrt(1+10e^{-2x})~e^x(1+5e^{-2x}) А можно так заменять корень? Ведь: sqrt(1+x)-1~1/2x. Разве можно переносить единицу в правую часть эквивалентности?

(23 Дек '18 0:25) sayyo

Мне почему-то казалась что функция может быть эквивалентная только главной части без всяких констант

(23 Дек '18 0:52) sayyo

@sayyo: эквивалентность означает, что частное величин стремится к 1. В произведении можно любую величину заменять на эквивалентную. С корнем всё в порядке, так как sqrt(1+t) эквивалентно 1 при t->0, и этого достаточно. Про линейные члены можно не упоминать. То, что sqrt(1+t)-1 ~ t/2, это тоже верно, то это более сильный факт. Он здесь не используется. Величины sqrt(1+t) и 1+t/2 обе эквивалентны 1. Промежуточное выражение можно было не писать.

(23 Дек '18 1:04) falcao

Спасибо!!!

(23 Дек '18 8:35) sayyo

Но как доказать, что ln(...)/x стремится к нулю. Если бы в авгументе ln был x, то было бы понятно. Но тут другой аргумент

(23 Дек '18 9:02) sayyo

@sayyo: в этом месте всё очевидно, так как логарифм берётся от выражения, стремящегося к 1. Получается 0 делённый на бесконечность.

(23 Дек '18 10:49) falcao

Точно, спасибо

(23 Дек '18 10:58) sayyo
показано 5 из 11 показать еще 6
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,242

задан
22 Дек '18 22:50

показан
179 раз

обновлен
23 Дек '18 10:58

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru