Как найти сумму ряда?

$$\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{F_n}{2^n}$$

В числителях дробей - числа Фибоначчи, а в знаменателях - степени двойки с натуральным показателем.

задан 23 Дек '18 3:00

1

Можно применить формулу Бине, согласно которой F(n) есть линейная комбинация двух геометрических прогрессий. Потом две бесконечные г.п. просуммировать. Но есть и более простой способ найти сумму ряда. Ответ, правда, зависит от начальных членов, поэтому полезно уточнить выбор F(1) и F(2). Это 1 и 1, или же 1 и 2? От этого зависит ответ (2 либо 3).

(23 Дек '18 3:21) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Для общего случая: пусть S -- сумма ряда. Тогда S = F(1)/2 + сумма F(n-1)/2^n + сумма F(n-2)/2^n по n>=2. Первая сумма есть S/2. Вторая равна F(0)/4+S/4. Итого S=F(0)+2F(1)=F(2)+F(1)=F(3), и всё зависит от того, какой член считается третьим -- 2 или 3.

ссылка

отвечен 23 Дек '18 3:27

@falcao, большое спасибо!

(23 Дек '18 3:30) Казвертеночка

@falcao, а что за проблема с начальными членами? Разве у Фибо первые два члена не равны единице?

(23 Дек '18 3:54) Пацнехенчик ...
1

@Казвертеночка: одно маленькое замечание. Для строгости короткого доказательства, желательно обосновать сходимость ряда. А то вдруг сумма бесконечна, и тогда "манипуляции" с суммами мало что будут значить. Чтобы не привлекать полный "аппарат" в виде формулы Бине, достаточно получить неравенство вида F(n)<=Сq^n, где q строго меньше 2. Чтобы сработала индукция, достаточно условия 1+q<=q^2, и на такую роль подойдёт q=1,7.

(23 Дек '18 3:56) falcao

@falcao, спасибо за важное замечание!

(24 Дек '18 12:49) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,128
×671
×37
×32
×10

задан
23 Дек '18 3:00

показан
218 раз

обновлен
24 Дек '18 12:49

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru