1)Являются ли изоморфными: группа подстановок S3 и поле вычетов Z5? 2)Являются ли изоморфными комплексные и действительные числа?

задан 23 Дек '18 11:14

@sayyo: формулировки оставляют желать лучшего. Нельзя говорить об изоморфизме разных алгебраических структур. Если мы сравниваем в этом смысле группу и поле, то для поля надо также указывать одну из его групп -- аддитивную или мультипликативную. Тогда ответ на первый вопрос очевиден: в S3 имеется 6 элементов, а в Z5 их меньше.

О втором вопросе: числа сами по себе изоморфными не бывают, и в такой форме это звучит как недопустимая вольность речи. Коль скоро подразумеваются группы, нужно на множествах задать операцию, и только потом сравнивать. Видимо, имелись в виду группы по сложению.

(23 Дек '18 11:27) falcao

(продолжение) Тогда они изоморфны, поскольку R и C -- это векторные пространства над Q одной и той же континуальной размерности.

(23 Дек '18 11:28) falcao

1) Я правильно понимаю, что так как число элементов разное,то нельзя установить биекцию, поэтому они не изоморфны? 2)То есть между этими множествами(R и C) можно установить взаимно-однозначное соответствие, поэтому они изоморфны?

(23 Дек '18 11:50) sayyo

@sayyo: 1) да, конечно -- если число элементов разное, то нет биекции, а потому нет и изоморфизма. Но я обратил внимание на то, что сравнивать между собой что попало нельзя. Утверждение о том, что группа из трёх элементов не изоморфна паре сапог, не столько ложно, сколько бессмысленно.

2) Тот факт, что между R и C можно установить биекцию, для изоморфизма ещё не достаточен. Скажем, группа S3 не изоморфна группе Z6, хотя там и там 6 элементов. Нужно, чтобы биекция сохраняла операцию (сложение). А это доказывается через векторные пространства и базис Гамеля.

(23 Дек '18 12:06) falcao

Биекцию я доказал, а как доказать гомоморфизм R и С?

(23 Дек '18 22:17) sayyo

@sayyo: давайте следить за точностью речи. Доказать можно утверждение, то есть существование биекции, а не саму биекцию. То же касается существования гомоморфизма, и здесь какое попало отображение не подойдёт. В частности, знаменитое перемешивание десятичных цифр двух чисел уже не подходит.

Здесь не обойтись без теоретико-множественных конструкций, опирающихся на аксиому выбора и следствия из неё. Само отображение здесь принципиально неконструктивно. Поэтому надо ознакомиться с отдельной темой.

(23 Дек '18 23:05) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×567
×122

задан
23 Дек '18 11:14

показан
457 раз

обновлен
23 Дек '18 23:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru