Как найти область значений функции $%у = -х^2 + 2х + 7$%?

задан 1 Май '13 20:27

перемечен 16 Июн '14 17:27

student's gravatar image


2.3k851

10|600 символов нужно символов осталось
2

Такие задачи можно решать графически, а можно применить такой приём как "выделение полного квадрата". Он же лежит в основе школьной теории квадратных уравнений.

Функция имеет вид $%y=-x^2+2x+7=-(x^2-2x)+7$%. В выражении $%x^2-2x$% не хватает единицы до т.н. "полного квадрата" -- в данном случае до $%(x-1)^2=x^2-2x+1$%. Преобразуем наше выражение в соответствии с этой идеей: $%y=-(x-1)^2+8$%. Далее рассуждаем так: $%x$% принимает все действительные значения, и это же верно для $%x-1$%. После возведения в квадрат, величина $%(x-1)^2$% принимает все неотрицательные действительные значения, то есть $%[0,+\infty)$%. При смене знака получаются все неположительные значения, то есть $%(-\infty,0]$%. Прибавляем $%8$%, получая ответ $%(-\infty,8]$%. Это и будет множество значений функции.

ссылка

отвечен 1 Май '13 21:17

Это задание школьное. Оно, как правило, решается на основе свойств квадратичной функции.

(1 Май '13 21:21) Anatoliy
1

Да, но я здесь использовал такой же школьный метод. Свойства квадратичной функции сами основаны на приёме выделения полного квадрата.

(1 Май '13 22:47) falcao

Но, это уже оформлено, ученик должен использовать подход представленный в школьном учебнике. Если использовать аргументации, представленные выше, то можно, скажем, и теорему Пифагора вывести, прежде чем ее применять при решении конкретной задачи. Ну, и еще раз о квадратичной функции. Возьмите любой учебник алгебры для 9 класса (например, Макарычева), и посмотрите как там решается этот вопрос (и не только этот).

(2 Май '13 17:57) Anatoliy

@Anatoliy: тут всё зависит от того, кто спрашивает. Если человек читал учебник, то он такого вопроса вообще не задаст, так как это совершенно стандартно. Так же и с теоремой Пифагора: для того, кто проработал её доказательство, выводить её заново нет смысла. А для того, кто этого не сделал, как раз полезно узнать основной механизм доказательства. Я основное внимание всегда обращаю на вопрос "откуда что берётся", а не на "знания". Важнее всего помнить ключевые идеи -- такие как способ выделения полного квадрата. А без этого все знания будут формальными и быстро забудутся или спутаются.

(2 Май '13 19:05) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Имеем квадратичную функцию. График - парабола, ветки которой направлены вниз, значит область значений функции $%(-\infty;y(-\frac{b}{2a})]=(-\infty;y(-\frac{2}{2\cdot(-1)})]=(-\infty;y(1)]=(-\infty;8].$%

ссылка

отвечен 1 Май '13 20:49

изменен 1 Май '13 20:55

10|600 символов нужно символов осталось
1

Можно и так:

Рассмотрим квадратичное уравнение от $%x$%

$%-x^2+2x+7=y \Leftrightarrow x^2-2x+(y-7)=0$%, оно имеет решение тогда и только тогда, если $%\frac{D}4=1-(y-7)=8-y\ge 0\Leftrightarrow y\le8.$% Значит область значений будет $%(-\infty;8].$%

ссылка

отвечен 1 Май '13 21:43

изменен 1 Май '13 21:59

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,808
×128

задан
1 Май '13 20:27

показан
10411 раз

обновлен
16 Июн '14 17:27

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru