Особое внимание на метод подбора/выборки автоморфизмов. Очень прошу по-подробнее.

задан 24 Дек '18 14:57

10|600 символов нужно символов осталось
0

Автоморфизм циклической группы порядка n однозначно определяется образом порождающего элемента x, который должен переходить в порождающий x^k того же порядка n. Для этого необходимо и достаточно, чтобы k было взаимно просто с n. Таких элементов в группе ровно ф(k), где ф -- функция Эйлера.

Композиция двух автоморфизмов x->x^k и x->x^m даёт x->x^{km}, то есть показатели перемножаются. Это значит, что группа Aut(Z(n)) изоморфна группе Z_n*, то есть группе обратимых элементов кольца вычетов по модулю n.

В данном случае ф(36)=ф(4)ф(9)=12, то есть группа состоит из 12 автоморфизмов. Нетрудно описать и её структуру. Прежде всего, в циклической группе порядка n есть ровно одна подгруппа любого порядка d, делящего n. Поскольку Z(36) изоморфна Z(4)xZ(9), и эти множители при автоморфизме переходят в себя, группа Aut(Z(36)) изоморфна прямому произведению Aut(Z(4))xAut(Z(9)).

Группа Aut(Z(4)) циклическая, она порождается автоморфизмом a->a^{-1}. Что касается Z(9), то там из общей теории тоже следует, что группа будет циклической, но здесь этот факт лучше не привлекать. Достаточно заметить, возводя в степени, что b->b^2 даёт автоморфизм группы Z(9) порядка 6, и тогда окончательно получается, что Aut(Z(36)) изоморфна Z(2)xZ(6).

ссылка

отвечен 24 Дек '18 20:58

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×803

задан
24 Дек '18 14:57

показан
57 раз

обновлен
24 Дек '18 20:58

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru