$$\sqrt{x}+ \sqrt{x- \sqrt{1-x} }=1 $$

В качестве развлечения и отдыха: не все может на дачах

задан 2 Май '13 17:18

10|600 символов нужно символов осталось
5

$%x\in[0;1]$% тогда обозначим $%x = \sin^2z,\; z\in[0;\pi/2]$%... при этом уравнение перепишется в виде $$\sin z + \sqrt{\sin^2 z - \cos z} = 1$$ перенесли и возвели в квадрат $$\sin^2 z - \cos z = 1 -2\sin z +\sin^2 z$$ $$2\sin z - \cos z = 1 $$ Введём угол $%\alpha: \quad \sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}, \quad\cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$% тогда $$\sin(z-\alpha) = \frac{1}{\sqrt{5}}$$ Откуда (Сравнивая с введённым углом) получаем, что $%\sin z = \sin 2\alpha = \frac{4}{5}$%, следовательно, $%x = \sin^2 z = \frac{16}{25}$%

ссылка

отвечен 2 Май '13 17:32

изменен 2 Май '13 17:47

10|600 символов нужно символов осталось
2

$$\sqrt{x}+ \sqrt{x- \sqrt{1-x} }=1 \Leftrightarrow \sqrt{x- \sqrt{1-x} }=1-\sqrt{x}\Leftrightarrow \begin{cases}x- \sqrt{1-x} =(1-\sqrt{x})^2\\ 1- \sqrt x\ge 0\end{cases}\Leftrightarrow $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases}x- \sqrt{1-x} =1-2\sqrt{x}+x\\ 1- \sqrt x\ge 0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} \sqrt{1-x} =2\sqrt{x}-1\\ 0\le x\le 1\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} 1-x =(2\sqrt{x}-1)^2\\2\sqrt{x}\ge1\\ 0\le x\le 1\end{cases}\Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow\begin{cases} 1-x =(2\sqrt{x}-1)^2 \\ 0,25\le x\le 1\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} 1-x =4x-4\sqrt x+1 \\ 0,25\le x\le 1\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} 4\sqrt x=5x \\ 0,25\le x\le 1\end{cases}\Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow\begin{cases} \sqrt x=4/5 \\ 0,25\le x\le 1\end{cases}\Leftrightarrow x=\frac{16}{25}$$

ссылка

отвечен 2 Май '13 17:40

изменен 2 Май '13 17:42

10|600 символов нужно символов осталось
2

$$(\sqrt{x}+ \sqrt{x- \sqrt{1-x} }=1 \Leftrightarrow\sqrt{x}- \sqrt{x- \sqrt{1-x} }= \sqrt{1-x})\Rightarrow 2\sqrt{x}=\sqrt{1-x}+1\Rightarrow$$ $$\Rightarrow4x=2-x+2\sqrt{1-x}\Leftrightarrow 5(1-x)+2\sqrt{1-x}-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} \sqrt{1-x}=-1,\\ \sqrt{1-x}=\frac{3}{5}, \end{aligned} \right.\Leftrightarrow\ x=\frac{16}{25}. $$ Непосредственной проверкой убеждаемся, что решением исходного уравнения является $%x=\frac{16}{25}.$%

ссылка

отвечен 3 Май '13 11:50

изменен 3 Май '13 11:57

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×909
×58

задан
2 Май '13 17:18

показан
1261 раз

обновлен
3 Май '13 12:01

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru