|
$$\sqrt{x}+ \sqrt{x- \sqrt{1-x} }=1 $$ В качестве развлечения и отдыха: не все может на дачах задан 2 Май '13 17:18 
epimkin |
|
$%x\in[0;1]$% тогда обозначим $%x = \sin^2z,\; z\in[0;\pi/2]$%... при этом уравнение перепишется в виде $$\sin z + \sqrt{\sin^2 z - \cos z} = 1$$ перенесли и возвели в квадрат $$\sin^2 z - \cos z = 1 -2\sin z +\sin^2 z$$ $$2\sin z - \cos z = 1 $$ Введём угол $%\alpha: \quad \sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}, \quad\cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$% тогда $$\sin(z-\alpha) = \frac{1}{\sqrt{5}}$$ Откуда (Сравнивая с введённым углом) получаем, что $%\sin z = \sin 2\alpha = \frac{4}{5}$%, следовательно, $%x = \sin^2 z = \frac{16}{25}$% отвечен 2 Май '13 17:32 
all_exist |
|
$$\sqrt{x}+ \sqrt{x- \sqrt{1-x} }=1 \Leftrightarrow \sqrt{x- \sqrt{1-x} }=1-\sqrt{x}\Leftrightarrow \begin{cases}x- \sqrt{1-x} =(1-\sqrt{x})^2\\ 1- \sqrt x\ge 0\end{cases}\Leftrightarrow $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases}x- \sqrt{1-x} =1-2\sqrt{x}+x\\ 1- \sqrt x\ge 0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} \sqrt{1-x} =2\sqrt{x}-1\\ 0\le x\le 1\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} 1-x =(2\sqrt{x}-1)^2\\2\sqrt{x}\ge1\\ 0\le x\le 1\end{cases}\Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow\begin{cases} 1-x =(2\sqrt{x}-1)^2 \\ 0,25\le x\le 1\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} 1-x =4x-4\sqrt x+1 \\ 0,25\le x\le 1\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} 4\sqrt x=5x \\ 0,25\le x\le 1\end{cases}\Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow\begin{cases} \sqrt x=4/5 \\ 0,25\le x\le 1\end{cases}\Leftrightarrow x=\frac{16}{25}$$ отвечен 2 Май '13 17:40 
ASailyan |
|
$$(\sqrt{x}+ \sqrt{x- \sqrt{1-x} }=1 \Leftrightarrow\sqrt{x}- \sqrt{x- \sqrt{1-x} }= \sqrt{1-x})\Rightarrow 2\sqrt{x}=\sqrt{1-x}+1\Rightarrow$$ $$\Rightarrow4x=2-x+2\sqrt{1-x}\Leftrightarrow 5(1-x)+2\sqrt{1-x}-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} \sqrt{1-x}=-1,\\ \sqrt{1-x}=\frac{3}{5}, \end{aligned} \right.\Leftrightarrow\ x=\frac{16}{25}. $$ Непосредственной проверкой убеждаемся, что решением исходного уравнения является $%x=\frac{16}{25}.$% отвечен 3 Май '13 11:50 
Anatoliy |