Можно ли вычислить гипотенузу по данным двум биссектрисам проведенным из острых углов прямоугольного треугольника?

задан 3 Май '13 0:02

10|600 символов нужно символов осталось
1

Вычислить можно, но через корень кубического уравнения.

Пусть $%a$%, $%b$% -- катеты, $%c$% -- гипотенуза, $%x$% и $%y$% -- биссектрисы, проведённые к катетам длиной $%a$%, $%b$% соответственно. Углы, противолежащие $%a$%, $%b$% обозначим соответственно через $%\alpha$% и $%\beta$%. Ясно, что $%\beta=\pi/2-\alpha$%.

Положим $%t={\rm tg\,}\alpha/2$%. Согласно хорошо известным формулам, $$\cos(\alpha/2)=\frac1{\sqrt{1+t^2}},\ \sin(\alpha/2)=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}},\ \cos\alpha=\frac{1-t^2}{1+t^2},\ \sin\alpha=\frac{2t}{1+t^2}.$$ Заметим, что $%\cos(\beta/2)=\cos(\pi/4-\alpha/2)=(\cos(\alpha/2)+\sin(\alpha/2))/\sqrt{2}=(1+t)/\sqrt{2(1+t^2)}$%.

Выразим длины биссектрис через $%c$% и $%t$%: $$x=\frac{b}{\cos(\alpha/2)}=c\cdot\frac{\cos\alpha}{\cos(\alpha/2)}=c\cdot\frac{1-t^2}{\sqrt{1+t^2}};$$

$$y=\frac{a}{\cos(\beta/2)}=c\cdot\frac{\sin\alpha}{\cos(\beta/2)}=c\cdot\frac{2t}{1+t^2}\cdot\frac{\sqrt{2(1+t^2)}}{1+t}=2\sqrt{2}c\cdot\frac{t}{(1+t)\sqrt{1+t^2}}.$$ Отсюда следует, что имеет место равенство $$\frac{2\sqrt{2}x}{y}=\frac{(1+t)(1-t^2)}t.$$ Функция от $%t$% в правой части равенства, определённая на $%(0;1)$%, монотонно убывает на этом интервале, принимая ровно по разу каждое из положительных значений. Решая кубическое уравнение относительно $%t$% для заданных $%x$%, $%y$%, мы однозначно находим $%t$%, а затем находим $%c$%, пользуясь формулой, которая выражает $%x$% через $%c$% и $%t$%.

Легко проверяется, что по любым положительным $%x$%, $%y$% однозначно восстанавливается соответствующий треугольник. Действительно, значению $%t$% из интервала $%(0;1)$% однозначно соответствует острый угол $%\alpha$%, тангенс половинного угла которого равен $%t$%. Далее строится треугольник с заданным острым углом и гипотенузой, и все выписанные здесь формулы обращаются в верные равенства.

ссылка

отвечен 3 Май '13 2:59

Выходит, поиздевались над девятиклассником?

(3 Май '13 12:18) milib

Учительница подсказала, что надо применить теорему Стюарта. Нашли в интернете эту теорему, но как ее здесь применить, не пойму.

(3 Май '13 12:22) milib

@milib: теорема Стюарта позволяет выразить длины биссектрис через стороны. В случае прямоугольного треугольника это же самое делается проще, и использованием теоремы Пифагора (а также, конечно, теоремы о биссектрисе). Но это ничего не даёт, так как получается довольно сложная система уравнений.

(3 Май '13 13:07) falcao

@falcao Не подскажете учебники, в которых написаны эти экзотические теоремы, выходящие за пределы программы обычной школы?

(4 Май '13 1:17) milib
1

@milib: есть старые книги, относящиеся к геометрии треугольника (это словосочетание можно использовать как ключевое слово при поиске). Например, есть книга С.И.Зетеля "Новая геометрия треугольника", изданная в 1962 году. Есть неплохая книжка (тоже старое издание) "Задачи и теоремы по геометрии" З.А.Скопеца и В.А.Жарова. Можно также что-то найти через Википедию.

(4 Май '13 1:53) falcao

Спасибо, непременно поищу их.

(5 Май '13 1:15) milib
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
2

Можно. Для этого достаточно решить систему уравнений $$\begin{cases}l_b^2=a\cdot c\Big(1-\Big(\frac{b}{a+c}\Big)^2\Big),\\l_a^2=b\cdot c\Big(1-\Big(\frac{a}{b+c}\Big)^2\Big),\\c^2=a^2+b^2.\end{cases}$$.

Если поделить первое уравнение на второе, то можно прийти к уравнению $$\frac{l_b^2}{l_a^2}=tg\alpha\cdot\frac{1-(\frac{cos\alpha}{sin\alpha+1})^2}{1-(\frac{sin\alpha}{cos\alpha+1})^2}.$$

ссылка

отвечен 3 Май '13 12:10

изменен 3 Май '13 12:35

Как же такую систему решить? Ничего, вроде, не сокращается? Все так усложнилось при решении.

(3 Май '13 12:20) milib

Но, я думал, что ставится вопрос о возможности нахождения.

(3 Май '13 12:27) Anatoliy
10|600 символов нужно символов осталось
0

Нашел одну формулу, которая навела меня на такую мысль: можно же ведь найти угол между биссектрисами! Она будет равна 90+a/2, где а=90 (град.) то есть угол между биссектрисами=135 (град). С помощью теоркмы косинусов можно будет вычислить гипотенузу.

ссылка

отвечен 5 Май '13 1:40

Угол между биссектрисами, разумеется, известен. Но ведь мы не знаем длины отрезков $%IA$%, $%IB$%, чтобы применить теорему косинусов и выразить через них гипотенузу $%c$%. (Через $%I$% я обозначил точку пересечения биссектрис.)

На самом деле, нетрудно выразить отношения $%AI:IA_1$%, $%BI:IB_1$%, но они выражаются через стороны треугольника, которых мы не знаем. При таком подходе мы получим очередное уравнение, связывающее между собой неизвестные величины, но не более того.

(5 Май '13 2:01) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Для того, чтобы решить эту задачу, необходимо следующее! 1.Знать планиметрию и свойства биссектрис треугольника, так как, это поможет составить нужное нам уравнение (систему уравнений) для решения этой задачи. 2.Для того, чтобы составить уравнение (систему) необходимо знать НЕ ТОЛЬКО планиметрию НО и алгебру, так как составление уравнения это не просто. 3.Уметь решать уравнения 3-й степеней, в данном случае получим - полное кубическое уравнение. Уравнение выведенное выше, относительно величины t - правильное.Где - t это тангенс половинного угла - А, вычисляя этот тангенс мы спокойно потом найдем гипотенузу треугольника. И так, решая полученную систему уравнения относительно t, приведенную выше, мы получим полное кубическое уравнение вида: - yt(куб) - уt(кв) - рt + y = 0 Где: х и у - данные биссектрисы, р = -((два умн. на корень с двух и умн. на х) - y). Такое уравнение решается методом Виета-Кардано как кубическое уравнение общего вида - ах(куб)+bх(кв)+сх+d=0 В нашем случае: а и b = -у, с = -р = -((два умн. на корень с двух и умн. на х) - y) и d = y.

ссылка

отвечен 7 Мар '16 3:13

изменен 7 Мар '16 4:07

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,924

задан
3 Май '13 0:02

показан
1572 раза

обновлен
7 Мар '16 4:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru