геометрия - Вычисление гипотенузы по двум биссектрисам

Вычислить можно, но через корень кубического уравнения.

Пусть $%a$%, $%b$% -- катеты, $%c$% -- гипотенуза, $%x$% и $%y$% -- биссектрисы, проведённые к катетам длиной $%a$%, $%b$% соответственно. Углы, противолежащие $%a$%, $%b$% обозначим соответственно через $%\alpha$% и $%\beta$%. Ясно, что $%\beta=\pi/2-\alpha$%.

Положим $%t={\rm tg\,}\alpha/2$%. Согласно хорошо известным формулам, $$\cos(\alpha/2)=\frac1{\sqrt{1+t^2}},\ \sin(\alpha/2)=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}},\ \cos\alpha=\frac{1-t^2}{1+t^2},\ \sin\alpha=\frac{2t}{1+t^2}.$$ Заметим, что $%\cos(\beta/2)=\cos(\pi/4-\alpha/2)=(\cos(\alpha/2)+\sin(\alpha/2))/\sqrt{2}=(1+t)/\sqrt{2(1+t^2)}$%.

Выразим длины биссектрис через $%c$% и $%t$%: $$x=\frac{b}{\cos(\alpha/2)}=c\cdot\frac{\cos\alpha}{\cos(\alpha/2)}=c\cdot\frac{1-t^2}{\sqrt{1+t^2}};$$

$$y=\frac{a}{\cos(\beta/2)}=c\cdot\frac{\sin\alpha}{\cos(\beta/2)}=c\cdot\frac{2t}{1+t^2}\cdot\frac{\sqrt{2(1+t^2)}}{1+t}=2\sqrt{2}c\cdot\frac{t}{(1+t)\sqrt{1+t^2}}.$$ Отсюда следует, что имеет место равенство $$\frac{2\sqrt{2}x}{y}=\frac{(1+t)(1-t^2)}t.$$ Функция от $%t$% в правой части равенства, определённая на $%(0;1)$%, монотонно убывает на этом интервале, принимая ровно по разу каждое из положительных значений. Решая кубическое уравнение относительно $%t$% для заданных $%x$%, $%y$%, мы однозначно находим $%t$%, а затем находим $%c$%, пользуясь формулой, которая выражает $%x$% через $%c$% и $%t$%.

Легко проверяется, что по любым положительным $%x$%, $%y$% однозначно восстанавливается соответствующий треугольник. Действительно, значению $%t$% из интервала $%(0;1)$% однозначно соответствует острый угол $%\alpha$%, тангенс половинного угла которого равен $%t$%. Далее строится треугольник с заданным острым углом и гипотенузой, и все выписанные здесь формулы обращаются в верные равенства.