Исследовать на замкнутость в $%l_{9}$% множество $%F\ = \{x:\sum\limits_{n=1}^{\infty} x_{n} = 0 \} $%, где $$\|x\|{9} = \big(\sum\limits{n=1}^{\infty}|x_{n}|^{9}\big)^{1/9}$$ и $$l_{9} = \{x = (x1,x2,...): \big(\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x_{n}|^{1/9}<\infty\big) \}$$

задан 26 Дек '18 16:28

изменен 26 Дек '18 18:32

Очень странно, что в предпоказе показывает то, что нужно, а здесь - нет.

(26 Дек '18 17:31) Chapman

@Chapman: местный редактор по-особому начинает обрабатывать подчёркивания, когда их так много. У всех задач на тему сравнения норм такая вот печальная судьба! :)

Насколько я понимаю, у Вас в последней формуле рассматривается не эль-9, а эль-1, судя по виду определения. Но понятие "эль-p" стандартно, и можно было определение не напоминать.

(26 Дек '18 18:28) falcao

А, вон оно как) Не знал, что такой вот редактор. Впредь буду знать! Виноват, там в последней формуле должна быть степень: сумма модулей степени девять. И она конечна)

(26 Дек '18 18:31) Chapman
10|600 символов нужно символов осталось
0

Для каждого натурального n рассмотрим вектор (1,-1/n,...,-1/n,0,...), где -1/n повторено n раз. Сумма координат равна нулю, а ряд из модулей 9-х степеней сходится по причине конечности. Легко видеть, что такая последовательность векторов сходится по норме пространства к вектору x=(1,0,0,...), который F уже не принадлежит, то есть множество замкнутым не будет.

Проверка простая: рассматриваем разность вектора x и n-го вектора последовательности. Сумма модулей 9-х степеней будет равна n/n^9, и после извлечения корня 9-й степени получится n^{-8/9}, что стремится к нулю.

ссылка

отвечен 26 Дек '18 18:42

Очень благодарен Вам!

(26 Дек '18 18:49) Chapman
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×20
×14

задан
26 Дек '18 16:28

показан
491 раз

обновлен
26 Дек '18 18:49

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru