R = Z[i] - целые комплексные числа. Идеал I = (1+i)*Z[i] Описать гомоморфизм кольца R на факторкольцо R/I. Какому кольцу изоморфно факторкольцо R/I?

задан 27 Дек '18 0:46

изменен 27 Дек '18 0:47

10|600 символов нужно символов осталось
0

Здесь в формулировке не сказано, какой гомоморфизм надо описать. По идее, из R в R/I имеется естественный гомоморфизм, который каждому r из R сопоставляет смежный класс r+I. Тогда описывать тут совершенно нечего, так как это определение из теории.

Ответ на второй вопрос -- кольцу (полю) Z2. Неформально: мы полагаем 1+i=0 в факторкольце, то есть i=-1. Тогда -1=i^2=(-1)^2=1 в факторкольце. Формально: если 1+i принадлежит ядру, то 2=(1+i)(1-i) тоже ему принадлежит. Значит, I содержит все элементы вида a+bi, где a-b чётно. Такие элементы образуют идеал, что проверяется по критерию. Значит, это и есть сам I.

Любое число из Z[i] либо принадлежит I, либо имеет вид 1+(a-1)+bi из 1+I. Смежных классов ровно два, они образуют кольцо с единицей из двух элементов. Значит, оно изоморфно Z2.

ссылка

отвечен 27 Дек '18 1:01

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×235
×51
×43

задан
27 Дек '18 0:46

показан
117 раз

обновлен
27 Дек '18 1:01

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru