1
1

Число $%x$% таково, что $%\log_2(\log_4 x) + \log_4(\log_8 x) + \log_8(\log_2 x) = 1$%. Найдите значение выражения $%\log_4(\log_2 x) + \log_8(\log_4 x) + \log_2(\log_8 x)$%.

задан 27 Дек '18 1:46

изменен 27 Дек '18 1:50

%D0%9A%D0%B0%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%B5%D0%BD%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B0's gravatar image


7.2k211

10|600 символов нужно символов осталось
2

Приведём все логарифмы к основанию 2. Это делается за счёт тождеств $%\log_4z=\frac12\log_2z$% и $%\log_8z=\frac13\log_2z$%, которые вытекают как из свойств логарифмов, так и просто из определения. Грубо говоря, если $%8^y=z$%, то $%2^{3y}=z$%, то есть логарифм того же числа по основанию 2 втрое больше, чем по основанию 8.

Уравнение из условия принимает вид $%\log_2(\frac12\log_2x)+\frac12\log_2(\frac13\log_2x)+\frac13\log_2(\log_2x)=1$%. Полагая $%t=\log_2x$%, имеем $%\frac{t}2(\frac{t}3)^{1/2}t^{1/3}=2$%, то есть $%t^{11/6}=4\sqrt3$%, и $%t=(4\sqrt3)^{6/11}$%. Соответственно, можно найти $%x=2^t$%, решив уравнение, но здесь это не требуется.

Далее находим значение выражения $%\frac12\log_2t+\frac13\log_2\frac{t}2+\log_2\frac{t}3=\log_2(t^{1/2}(\frac{t}2)^{1/3}\frac{t}3)=\log_2\frac{t^{11/6}}{2^{1/3}\cdot3}$%. Это будет $%\log_2\frac{4\sqrt3}{2^{1/3}\cdot3}=\log_2(2^{5/3}3^{-1/2})=\frac53-\frac12\log_23$%.

ссылка

отвечен 27 Дек '18 3:05

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,301
×1,282
×249

задан
27 Дек '18 1:46

показан
201 раз

обновлен
27 Дек '18 3:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru