R - функция вида y=f(x), x,y∈R, I={y=h(x) | h(0)=0}

1) Докажите, что множество R является кольцом

2) Докажите, что подмножество I⊂R является подкольцом

3) Докажите, что подмножество I является идеалом в R

4) Опишите классы факторкольца R/I и операции в нем

5) Опишите гомоморфизм кольца R на факторкольцо R/I

6) Имеются ли в кольце R и в факторкольце R/I делители нуля

7) Является ли факторкольцо R/I полем

8) Какому кольцу изоморфно факторкольцо R/I

задан 27 Дек '18 16:29

@Kronos: задание из такого количества пунктов не хочется даже читать. Я так понимаю, это некая инструкция для более лёгкого освоения нового материала. Тогда осваивайте, и задавайте по ходу дела вопросы насчёт того, что оказывается непонятно.

Предостережение: обозначения надо давать аккуратно, чтобы не спутать кольцо $%R$% (от слова ring) с полем вещественных чисел $%\mathbb R$% (от слова real).

(27 Дек '18 21:18) falcao

@falcao С первыми пятью пунктами вроде разобрался. На счет последних трех вообще нет идей. В 6 непонятно как можно определить делитель нуля для функции. В 7 вроде просто достаточно доказать, что для каждой функции существует обратная, но я не знаю как.

(27 Дек '18 22:17) Kronos

@Kronos: давайте я сообщу "ключевое" соображение по этой задаче, а Вы его разовьёте.

Здесь делается следующее: каждой функции h сопоставляется её значение в нуле. Это гомоморфизм кольца функций на поле вещественных чисел. Ядро образуют функции с условием h(0)=0, то есть это I. По теореме о гомоморфизмах, факторкольцо R/I изоморфно полю вещественных чисел. Это даёт ответы, фактически, на все вопросы сразу.

Делителей нуля в поле нет, но если бы мы этого не знали, то могли бы получить этот вывод напрямую. Он связан с тем, что если fg=0 в точке x=0, то либо f, либо g равно нулю в нуле.

(27 Дек '18 22:31) falcao

@falcao Я правильно понял, что если R/I изоморфно полю вещественных чисел, то из этого следует, что R/I также является полем?

(27 Дек '18 22:44) Kronos

@Kronos: вне всякого сомнения. Изоморфные объекты -- это фактически "одинаковые" (типа равных треугольников). Один является "точной копией" другого. Именно в этом смысл понятия изоморфизма, и формальное определение его и призвано отразить.

(27 Дек '18 23:00) falcao

@falcao У меня возникли трудности с доказательством того, что R/I изоморфно полю вещественных чисел, т.к. даже не на что опереться. Объясните, пожалуйста, как это можно сделать.

(27 Дек '18 23:27) Kronos

@Kronos: это не надо специально доказывать -- надо сослаться на теорему о гомоморфизмах колец. (Факторкольцо по ядру изоморфно образу.) У меня про это было написано. Если с самой теоремой знакомы недостаточно хорошо, прочитайте про неё в учебнике. Это фундаментальная вещь, её надо обязательно знать.

Правда, смысл тут простой: каждый смежный класс вида h+I состоит из функций, значение которых в нуле равно фиксированному числу, то есть факторкольцо из чисел и состоит. Складываются и умножаются они как обычные числа. Но это неформальное объяснение смысла, а излагать надо со ссылкой на теорему.

(27 Дек '18 23:34) falcao

@falcao Подскажите пожалуйста, какой будет нейтральный элемент в факторкольце.

(28 Дек '18 17:08) Kronos

@Kronos: в факторкольце по идеалу I нулевой элемент всегда один и тот же (см. определение факторкольца, а также операций в нём). Это класс нуля 0+I, он же I. Если кольцо обладает единицей, а идеал I не совпадает со всем кольцом, но факторкольцо будет также обладать единицей, которой является класс единицы, то есть 1+I.

(28 Дек '18 17:18) falcao
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×234
×43
×43

задан
27 Дек '18 16:29

показан
129 раз

обновлен
28 Дек '18 17:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru