геометрия - Как соотносятся множества равновеликих и равносоставленных фигур?

Это довольно тонкий вопрос. Здесь важно то, какое определение берётся за основу.

Прежде всего, есть классический результат: теорема Бойяи - Гервина. Она утверждает, что для многоугольников, разрезаемых на многоугольники, условие совпадения площадей является необходимым и достаточным для того, чтобы при разрезании на конечное число частей один многоугольник можно было превратить в другой.

Аналогичное утверждение для трёхмерного пространства уже неверно, то есть для многогранников, разрезаемых на конечное число многогранников, это не так. Это так называемая "Третья проблема Гильберта". Она была решена отрицательно в начале XX века Максом Дэном, который показал, что тетраэдр и куб равного объёма нельзя превратить друг в друга таким путём.

Теперь вернёмся к случаю плоскости. Допустим, у нас есть круг и квадрат одинаковой площади. Мы хотим их разрезать на "хорошие" части с помощью ножниц. Здесь можно ставить вопрос об уточнении того, какие части называются "хорошими", но пусть это будут фигуры многоугольного типа, граница которых может состоять из отрезков и дуг окружностей. Тогда можно доказать, что равносоставленность не имеет места, сравнивая длины "выпуклых" и "вогнутых" участков.

Заметим, что при разрезаниях "классического" типа граничные точки фигур могут принадлежать сразу двум фигурам, соединяемым вместе. Но что будет, если этого не допускать, но при этом разрешить разбиение на любые части -- какой угодно "формы"?

Рассмотрим такое определение. Пусть даны две фигуры $%\Phi$% и $%\Phi'$% на плоскости. Допустим, что для некоторого $%n$% нам удалось разбить эти фигуры на $%n$% частей, то есть представить в виде объединений: $%\Phi=X_1\cup X_2\cup\cdots\cup X_n$%, $%\Phi'=X_1'\cup X_2'\cup\cdots\cup X_n'$% таким образом, что части каждого из разбиений попарно не пересекаются, и каждая из фигур $%X_i$% ($%1\le i\le n$%) равна фигуре $%X_i'$% в обычном смысле, то есть одна из другой получается при помощи перемещения плоскости. Такие фигуры $%\Phi$% и $%\Phi'$% иногда называют "равноразложимыми". Так вот, для этого вида разбиений, где части могут иметь какой угодно вид, в начале 90-х годов XX века было установлено, что любые две фигуры одинаковой площади (в частности, квадрат и круг), являются равноразложимыми. Это доказал венгерский математик Лацкович (M.Laczkovich). Количество частей при этом оказывается очень велико -- чуть ли не порядка $%10^{50}$%. Однако обязательное условие состоит в том, что число частей разбиения является конечным.

Для аналогичного понятия в трёхмерном пространстве давно были известны ещё более парадоксальные случаи разбиения фигур, но этого вопроса я сейчас касаться не буду.