самообразование - Факториал как сумма степеней

В общем виде задача выглядит следующим образом. Для каждого $%n\in\mathbb{N}$% требуется определить, какое наименьшее количество степеней числа $%n$% (с показальным натурателем) нужно сложить, чтобы получить факториал натурального числа?

Ясно, что достаточно одной степени единицы или одной степени двойки, так как числа 1 и 2 являются факториалами.

Степеней тройки уже потребуется как минимум две, так как все степени тройки нечётны, а получившийся факториал будет не меньше 3, а значит, чётным: $%3^1+3^1=3!$%

Степеней четвёрки нужно уже как минимум 3 (по аналогичной причине): $%4^2+4^1+4^1=4!$%

А вот четырьмя степенями пятёрки, кажется, уже не обойтись (меньше четырёх нельзя, так как получившийся факториал будет делиться на 5, а значит и на 4, а степень пятёрки даёт остаток 1 при делении на 4). Например, чтобы получить $%5!=120$%, их нужно не менее 8. Число $%6!=720$% тоже менее чем 8-ю степенями пятёрки не получишь. Короче, там уже становится интересненько.

Степень шестёрки снова нужна всего одна, так как шестёрка - факториал.

Степеней семёрки, по-моему, нужно уже не менее 12 (теоретически нельзя меньше 6)...

В общем, получается интересная задача, которой конца-края не видно. Надеюсь, она заинтересует некоторых из вас.

@falcao @knop