В общем виде задача выглядит следующим образом. Для каждого $%n\in\mathbb{N}$% требуется определить, какое наименьшее количество степеней числа $%n$% (с показальным натурателем) нужно сложить, чтобы получить факториал натурального числа?

Ясно, что достаточно одной степени единицы или одной степени двойки, так как числа 1 и 2 являются факториалами.

Степеней тройки уже потребуется как минимум две, так как все степени тройки нечётны, а получившийся факториал будет не меньше 3, а значит, чётным: $%3^1+3^1=3!$%

Степеней четвёрки нужно уже как минимум 3 (по аналогичной причине): $%4^2+4^1+4^1=4!$%

А вот четырьмя степенями пятёрки, кажется, уже не обойтись (меньше четырёх нельзя, так как получившийся факториал будет делиться на 5, а значит и на 4, а степень пятёрки даёт остаток 1 при делении на 4). Например, чтобы получить $%5!=120$%, их нужно не менее 8. Число $%6!=720$% тоже менее чем 8-ю степенями пятёрки не получишь. Короче, там уже становится интересненько.

Степень шестёрки снова нужна всего одна, так как шестёрка - факториал.

Степеней семёрки, по-моему, нужно уже не менее 12 (теоретически нельзя меньше 6)...

В общем, получается интересная задача, которой конца-края не видно. Надеюсь, она заинтересует некоторых из вас.

@falcao @knop

задан 28 Дек '18 3:05

2

@Казвертеночка: то, что нет факториалов, "близких" к степеням числа 7, звучит правдоподобно, но совершенно непонятно, как это доказывать. Задача для меня выглядит "безнадёжной".

(29 Дек '18 0:19) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,194
×64
×61
×30
×24

задан
28 Дек '18 3:05

показан
189 раз

обновлен
29 Дек '18 0:19

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru