|
Пусть задан пространственный замкнутый (n + 1)-угольник с длинами сторон $$a_1,a_2...a_n, a;$$ причём $$a_1 < a; a_2 < a;... a_n < a; (a_1 + a_2 +... + a_n) > a$$. С помощью компьютерной программы находим с достаточным приближением значение величины x (x > 1), такое, что выполняется равенство: $$(a_1)^{x} + (a_2)^{x} + ... +(a_n)^x = a^{x}$$. Соединим соответствующие концы отрезков фигуры друг с другом отрезками: $$a_{12}, a_{23},..$$, длины которых известны: $$a_{12} = ((a_1)^{x} + (a_2)^{x})^{1/x}$$;$$a_{23} = ((a_2)^{x} + (a_3)^{x})^{1/x}$$;... $$a_{(n - 1) n} = ((a_{n - 1})^{x} + (a_n)^{x})^{1/x}$$. Получим однозначно определённую n-мерную пирамиду. Вопрос таков: зависит ли величина объёма этой n - мерной пирамиды от порядка следования её рёбер? Изменится ли эта величина, если порядок следования рёбер пирамиды будет,например, таким: $$a_2, a_n,a_5,a_7,a_3...$$? (Поскольку вопрос переформулирован, на обсуждение прежнего ошибочно сформулированного вопроса не следует обращать внимание)$$ Ответ на замечание:$$ @falcao, ортогональны два ребра основания пирамиды a и b и ребро с ортогонально плоскости двух ортогональных рёбер основания - эта заметка касается трёхмерной пирамиды и утверждения о неизменности объёма её от порядка следования рёбер a,b, c задан 4 Май '13 11:54 
nikolaykruzh... |
|
Я так понимаю, здесь дан не сам $%(n+1)$%-угольник, а только числа. Далее по ним осуществляется некое построение и подсчитывается площадь. Нетрудно привести примеры, когда эта площадь зависит от порядка следования длин будущих сторон. Вот, например, пусть $%n=3$% (то есть строится четырёхугольник), и числа равны $%a_1=2$%, $%a_2=a_3=1$%, $%a=\sqrt{6}$%. Ясно, что $%x=2$%. Тогда сначала строится прямоугольный треугольник с катетами $%2$% и $%1$%, а потом к нему пристраивается треугольник с катетами $%\sqrt{5}$% и $%1$%. Удвоенная площадь получившегося четырёхугольника равна $%2+\sqrt{5}$%. Изменим порядок следования чисел, беря теперь $%a_2$%, $%a_3$%, $%a_1$%, $%a$%. Число $%x=2$% не изменилось, но теперь возникают прямоугольные треугольники с катетами $%1$% и $%1$%, и далее с катетами $%\sqrt{2}$% и $%2$%. Удвоенная площадь здесь равна $%1+2\sqrt{2}$%. Ясно, что числа получаются разные: $%2+\sqrt{5} > 4 > 1+2\sqrt{2}$%. отвечен 4 Май '13 13:31 
falcao Ну,конечно, даны числа.Но из просто отрезков нельзя составить фиксированный n-угольник. Поэтому использован приём искусственной
(4 Май '13 14:40)
nikolaykruzh...
У меня это было чисто "редакционное" замечание. Дело в том, что если многоугольник задан, то и все длины диагоналей уже даны. Точнее было бы говорить, что даны числа, и мы строим по ним многоугольник (искусственно или нет -- это уже не так важно).
(4 Май '13 14:56)
falcao
фиксации положения сторон дружка относительно дружки. Вы нашли, что площадь в этом случае есть функция, которая, вероятно, при некоторых условиях имеет максимум. Спасибо Вам за быстрое и убедительное решение... Философская подоплёка этой задачи мне не ясна. Обычно стороны фиксируют дополнительно с помощью углов между ними. А в данном случае: степень x играет здесь роль некоего аналога единого для всех сторон обобщённого угла, что ли?.. У кого с математикой неладно, тот лезет в философию в надежде, что уж тут-то ему станет всё ясно: и как устроен мир, и в чём смысл жизни. Тщетно!
(4 Май '13 15:15)
nikolaykruzh...
А что Вас тут удивило? Осуществляются разные построения, пусть и связанные воедино каким-то общим числом. Почему площади должны быть одинаковые? Я взял первый попавшийся пример и посмотрел на результат. Никакого философского смысла я здесь не усматриваю. Число $%x$% не определяет площадь однозначно -- только и всего. Какие-то инварианты всегда есть -- например, сумма углов. Но площадь при этом может быть разной.
(4 Май '13 15:46)
falcao
Для заданных чисел, которые материализуются в длинах некоторых отрезков, из которых можно составить многоугольник, существует некоторое число x, и это число является чем-то вроде инварианта для этой совокупности чисел - вот что меня удивило. Оно никак не связано с площадью - он связано только с периметром. Смысл этого числа, его функция пока непонятна.
(24 Май '13 11:56)
nikolaykruzh...
Объём трёхмерной пирамиды, если её рёбра взаимно ортогональны друг другу, не меняется от порядка следования её рёбер, но справедливо ли это утверждение для n-мерной?
(7 Окт '13 12:13)
nikolaykruzh...
@nikolaykruzh...: о каких рёбрах пирамиды идёт речь? Ведь каждое не может быть ортогонально каждому -- например, в треугольнике не бывает трёх прямых углов. Что такое "порядок следования" здесь тоже не вполне ясно, так как рёбра можно перечислять в разном порядке. Нужно сформулировать вопрос точнее.
(7 Окт '13 13:33)
falcao
показано 5 из 7
показать еще 2
|
Теперь будет непонятно, где "старые" ответы, где "новые". Вы бы лучше новую тему открыли. Впрочем, вмновой формулировке тоже далеко не в се понятно.
Да, Вы правы. Проще рассмотреть, к примеру, 4-мерную пирамиду. а не n - мерную. Спасибо!