|
$$x^2-3xy+2y^2+x-y+1=0$$ $$(y+z)^{0,5}+z=(2x+z)^{0,5}+(3+2y-y^2)^{0,5}$$ задан 4 Май '13 16:38 
Uchenitsa |
|
Первое уравнение переписывается в виде $%(2x-3y+1)^2=y^2-2y-3.$% Поскольку выражение $%3+2y-y^2=-(y^2-2y-3)$% стоит во втором уравнении под корнем, оно должно быть равно нулю. Отсюда $%y=3$% или $%y=-1$%. В обоих случаях $%2x-3y+1=0$%, откуда $%(x,y)\in\{(4,3),(-2,-1)\}$%. Далее возникает два случая. Если $%x=4$%, $%y=3$%, то второе уравнение системы принимает вид $%\sqrt{z+3}+z=\sqrt{z+8}$%. Ясно, что $%z > 0$%. После возведения в квадрат и несложных преобразований получится $%2z\sqrt{z+3}=5-z^2$%, откуда $%z < \sqrt{5}$%. Ещё раз возводя в квадрат, приходим к уравнению четвёртой степени, которое имеет очевидный корень $%z=1$% и разлагается на множители: $$(z-1)(z^3-3z^2-25z-25)=0.$$ Корень $%z=1$% подходит при проверке, а других корней здесь не будет, так как кубическое уравнение $%z^3=3z^2+25z+25$% очевидным образом не имеет решений при $%z\in(0,\sqrt{5})$%: значение левой части меньше $%3z^2$%, а значение правой -- больше. Таким образом, мы пришли к решению $%(x,y,z)=(4,3,1)$%. Других решений система не имеет, так как оставшийся случай $%x=-2$%, $%y=-1$% приводит к уравнению $%\sqrt{z-1}+z=\sqrt{z-4}$%. Понятно, что $%z\ge4$%, но при этом левая часть больше правой. Таким образом, система имеет единственное решение, найденное выше. отвечен 4 Май '13 19:56 
falcao Огромное спасибо за ответ!
(4 Май '13 20:01)
Uchenitsa
|
|
Из второго уравнения системы имеем $%3+2y-y^2\ge0\Leftrightarrow y\in[-1;3]\quad (1).$% $%x^2-3xy+2y^2+x-y+1\Leftrightarrow x^2+x(1-3y)+2y^2-y+1.$% Рассмотрим данное уравнение как квадратное относительно $%x.$% Дискриминант уравнения $%D=(3y-1)^2-4(+2y^2-y+1)=y^2-2y-3.$% Уравнение имеет решение, если $%D\ge0.$% С учетом $%(1)$% Это возможно, если $%y=-1$% или $%y=3.$% $$1)\quad y=-1;\begin{cases}x^2+4x+4=0,\\\sqrt{z-1}+z=\sqrt{2x+z},\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=-2,\\\sqrt{z-1}+z=\sqrt{z-4},\end{cases}...$$ $$2)\quad y=3;\begin{cases}x^2-8x+16=0,\\\sqrt{z+3}+z=\sqrt{2x+z},\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=4,\\\sqrt{z+3}+z=\sqrt{z+8},\end{cases}...$$ отвечен 4 Май '13 20:08 
Anatoliy |
Проверьте условие.
@Anatoliy, условие записала верное, эти два уравнения находятся в системе, нужно записать поточнее. Исправьте, пожалуйста; объедините в систему