алгебра - Олимпиадная задачка

Функция $$g(x)=f(x)-(x+1)^2$$ в силу условия удовлетворяет уравнению $$g(x+1)=g(x).$$ Значит, $$g(2001)=g(0).$$ Следовательно, $$f(2001)-2002^2=f(0)-1^2= 0,$$ $$f(2001)=2002^2.$$

$%f(0)=1=1^2$%

$% f(1)=f(0)+2\cdot0+3=4=2^2$%

$%f(2)=f(1)+2\cdot 1+3=9=3^2$%

Гипотеза-$%f(n)=(n+1)^2$%.

Пусть гипотеза верна для $%n,$% докажем что она верна для

$%n+1.$%

$%f(n+1)=f(n)+2n+3=(n+1)^2+2n+3=n^2+4n+4=(n+2)^2\Rightarrow $%(Согласно принципу математической индукции) $%f(n)=(n+1)^2, n\in N.$% Значит $%f(2001)=2002^2=4008004.$%