f(x+1)=f(x)+2x+3 f(0)=1 Найти f(2001)

задан 4 Май '13 18:11

10|600 символов нужно символов осталось
1

$%f(1)-f(0)=2\cdot0+3;\quad f(2)-f(1)=2\cdot1+3;...;\quad f(2001)-f(2000)=2\cdot2000+3$%. Сумируя полученные равенства, будем иметь: $$f(2001)-f(0)=3+5+7+...+4003=\frac{3+4003}{2}\cdot2001.$$ Откуда $%f(2001)=f(0)+2003\cdot2001=1+4008003=4008004.$%

ссылка

отвечен 4 Май '13 18:34

10|600 символов нужно символов осталось
3

Функция $$g(x)=f(x)-(x+1)^2$$ в силу условия удовлетворяет уравнению $$g(x+1)=g(x).$$ Значит, $$g(2001)=g(0).$$ Следовательно, $$f(2001)-2002^2=f(0)-1^2= 0,$$ $$f(2001)=2002^2.$$

ссылка

отвечен 4 Май '13 18:22

изменен 4 Май '13 18:36

10|600 символов нужно символов осталось
1

$%f(0)=1=1^2$%

$% f(1)=f(0)+2\cdot0+3=4=2^2$%

$%f(2)=f(1)+2\cdot 1+3=9=3^2$%

Гипотеза-$%f(n)=(n+1)^2$%.

Пусть гипотеза верна для $%n,$% докажем что она верна для

$%n+1.$%

$%f(n+1)=f(n)+2n+3=(n+1)^2+2n+3=n^2+4n+4=(n+2)^2\Rightarrow $%(Согласно принципу математической индукции) $%f(n)=(n+1)^2, n\in N.$% Значит $%f(2001)=2002^2=4008004.$%

ссылка

отвечен 5 Май '13 17:34

изменен 5 Май '13 18:55

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,539
×1,116

задан
4 Май '13 18:11

показан
1147 раз

обновлен
5 Май '13 18:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru