геометрия - Геометрическое неравенство

Здесь наверняка должно быть какое-то красивое решение, но я придумал пока только вычислительное.

Обозначим середины сторон $%BC$%, $%CA$%, $%AB$% через $%A_2$%, $%B_2$%, $%C_2$% соответственно. Пусть $%a$%, $%b$%, $%c$% -- длины сторон, и $%x$%, $%y$%, $%z$% -- длины проведённых к ним медиан.

Из свойств медиан имеем $%MA=2x/3$%, $%MA_2=x/3$% вместе с симметричными равенствами, откуда доказываемое неравенство можно переписать в виде $%A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2\ge(x+y+z)/3$%.

Из свойства пересекающихся хорд имеем равенство $%AA_2\cdot A_2A_1=BA_2\cdot A_2C=(a/2)^2$%, откуда $%A_1A_2=a^2/(4x)$%. Теперь можно всё выразить через длины медиан. Хорошо известны формулы для выражения длин медиан через стороны: $%4x^2=2(b^2+c^2-a^2)$% вместе с симметричными равенствами. Отсюда легко получаются обратные соотношения: $%a^2=(8y^2+8z^2-4x^2)/9$% вместе с остальными двумя равенствами. В итоге имеем $%A_1A_2=(1/9)(2y^2/x+2z^2/x-x)$%, и аналогично для двух других отрезков.

Складывая всё вместе, после упрощений, приходим к неравенству $$\frac{y^2+z^2}x+\frac{z^2+x^2}y+\frac{x^2+y^2}z\ge2(x+y+z),$$ которое достаточно доказать для положительных $%x,y,z$%. Для этого заметим, что $%x^2/y+y^2/x\ge x+y$%, поскольку разность левой и правой части равна $%(x+y)(x-y)^2/(xy)\ge0$%. Складывая полученное неравенство почленно с двумя симметричными, то есть с $%y^2/z+z^2/y\ge y+z$% и $%z^2/x+x^2/z\ge z+x$%, получаем то, что требовалось доказать.