Найдите наименьшее 11-значное натуральное число, состоящее из почти попарно различных цифр (ровно две цифры одинаковы, а остальные - попарно различны), делящееся на 11.

Глубокоуважаемые программисты, не торопитесь писать программу, здесь всё уморешабельно.

(МинГорОТЮМ - это Минский Городской Отрытый Турнир Юных Математиков)

задан 5 Янв '19 1:33

ну, навскидку $%10123458697$%... может не ошибся... )))

(5 Янв '19 1:46) all_exist

@all_exist, ошиблись. Если будет два нуля, число будет меньше.

(5 Янв '19 1:50) Казвертеночка
1

упс... "обознатушки, перепрятушки"(с)... ))))

(5 Янв '19 1:54) all_exist

@Казвертеночка, новый вариант... $%10023548679$% ... а сейчас?...

(5 Янв '19 1:58) all_exist
1

@all_exist: а такое число не делится на 11. Но, даже если бы делилось, оно не наименьшее.

(5 Янв '19 2:05) falcao

@falcao, мдя... пошёл посыпать голову пеплом... (((

(5 Янв '19 2:19) all_exist

@all_exist, «пошёл посыпать голову пеплом» .... И бить себя веригами?

(5 Янв '19 2:22) Казвертеночка
1

@Казвертеночка, не... к чему эти крайности?... )))

(5 Янв '19 3:01) all_exist
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
1

Программно решать ещё и очень долго, вдобавок ко всему. Я, прочитав условие, подумал почему-то о наибольшем таком числе, поэтому рассмотрю и этот вариант. Такая задача смотрится не хуже.

Попробуем сделать так, чтобы число начиналось с 99. Если оно существует, то именно 9 встречается дважды, а остальные цифры по разу. Тогда задача сводится к нахождению 9-значного числа из цифр от 0 до 8, делящегося на 11. Сумма всех этих цифр равна 36. Поэтому, если сумма цифр на нечётных местах равна k, то на чётных она равна 36-k, и 2k-36 делится на 11. Значит, k даёт остаток 7 при делении на 11, то есть может принимать значения 7, 18, 25, 32.

Вариант с 87654 в начале не проходит, так как 8+6+4=18, и дальше не получить ни 0, ни 7 из оставшихся цифр. Для 87653 к сумме 8+6+3=17 можно добавить 1 как сумму цифр 1 и 0, и это в итоге приводит к ответу 99876534120. Это наибольшее из значений.

Теперь найдём наименьшее. Здесь "кандидатом" на первые три цифры будут 100 -- ничего меньшего предложить нельзя. Далее должно следовать 8-значное число из цифр от 2 до 9. Ясно, что 100 в начале можно заменить на 1, и тогда задача станет равноценна поиску наименьшего 9-значного числа, кратного 11, составленного из цифр от 1 до 9.

Здесь сумма цифр равна 45, и если на нечётных местах сумма цифр равна k, то 2k-45 кратно 11, и k даёт в остатке 6. Подходящие для этого значения: 6, 17, 28, 39. Легко понять, что самое первое и самое последнее значение не получить, то есть надо ориентироваться на 17 или 28.

Если в начале стоят 12345, то 1+3+5=9, и добавить надо сумму двух цифр, равную 8 или 19. Ни то, ни другое не проходит. Тогда смотрим на вариант 12346 с суммой 1+3+6=10. Здесь также ни 7, ни 18 не сформировать. Продолжая "держать" в начале 1234, следующую цифру полагаем равной 7. Тогда к сумме 1+3+7=11 можно добавить 17 как сумму 8 и 9. Это даёт вариант 123475869, и конечным ответом будет 10023475869.

ссылка

отвечен 5 Янв '19 2:03

изменен 5 Янв '19 3:10

@falcao, «...и тогда задача станет равноценна поиску наименьшего 9-значного числа, кратного 1» .... Вы хотели сказать, на 11?

(5 Янв '19 2:15) Казвертеночка
1

@Казвертеночка: да, конечно. Это опечатка, которую я не заметил.

(5 Янв '19 3:10) falcao

@falcao, большое Вам спасибо за решение!

(5 Янв '19 3:23) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,404
×257
×6
×2
×1

задан
5 Янв '19 1:33

показан
501 раз

обновлен
5 Янв '19 3:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru