т.ч. A=B*C.Доказать, что r - ранг A.

задан 5 Янв 21:41

изменен 5 Янв 21:56

@sayyo: не надо длинные условия помещать в виде заголовка -- их становится неудобно читать.

Условие сформулировано некорректно. Число не может удовлетворять матричному равенству. Мысль тут была, видимо, какая-то другая. Типа, дана матрица A такого-то размера. Доказать, что её ранг r -- это наименьшее число, при котором A можно представить в виде произведения матриц mxr и rxn (это моё предположение, что имелось в виду это, а потом при пересказе всё "улучшили" :))

(5 Янв 21:49) falcao

Да, именно так

(5 Янв 21:52) sayyo
10|600 символов нужно символов осталось
0

Пусть дана матрица A размером mxn ранга r. Известно, что ранг матрицы не больше любого из её измерений, а также то, что при умножении одной матрицы на другую, ранг не увеличивается. Поэтому A нельзя представить в виде произведения матриц размером mxs и sxn при s < r.

Покажем, как представить A в виде произведения матриц размером mxr и rxn. Ввиду того, что rank(A)=r, у матрицы A можно выделить r базисных столбцов. Составим из них матрицу B размером mxr. Любой столбец матрицы A является линейной комбинацией базисных столбцов. При 1<=j<=n, рассмотрим j-й столбец, и разложим его по базисным столбцам. Это даст нам r коэффициентов, которые мы запишем в j-й столбец матрицы С размером rxn. При умножении B на такой столбец, получится линейная комбинация столбцов матрицы B с коэффициентами из этого столбца, а они выбраны так, чтобы в итоге получился j-й столбец матрицы A. Отсюда по правилу умножения матриц мы имеем, что BC=A.

ссылка

отвечен 5 Янв 23:25

изменен 6 Янв 0:28

1)"Поэтому A нельзя представить в виде произведения матриц размером mxs и sxn при s < n" - Вы имели в виду s>n? 2)А как доказать, что именно наименьшее r будет рангом, почему не может быть прозведения B*C с r<rk(A)?

(6 Янв 0:04) sayyo

@sayyo: там опечатка, но должно быть s < r. У меня объяснено, почему это так. Ранг B будет меньше r, и ранг BC тем более. Поэтому матрица ранга r в произведении не получится. Но это лёгкая часть доказательства.

(6 Янв 0:27) falcao
1

А как это применить для реальных матриц? Допустим для матрицы:

1 2 3

4 5 6

7 8 9 ?

(8 Янв 18:24) sayyo

@sayyo: удачный вопрос! На примерах всё постигается намного лучше.

Здесь ранг матрицы равен 2. Матрицу записываем как произведение матриц 3x2 и 2x3. В качестве базисных берём первые два столбца. Из них состоит B. Мы знаем, что сумма первого и равна удвоенному второму. Значит, третий столбец выражается через первые два с коэффициентами -1 и 2. Первый столбец выражается через базисные с коэффициентами 1 и 0, второй -- с 0 и 1. Эти числа образуют матрицу E порядка 2; к ней добавляем третий столбец из чисел -1 и 2. Итого C равно

1 0 -1

0 1 2

Теперь проверьте, что BC=A.

(8 Янв 19:58) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,140

задан
5 Янв 21:41

показан
127 раз

обновлен
8 Янв 19:58

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru