20 точек, делящие окружность на 20 равных дуг, попарно соединены десятью хордами. Докажите, что обязательно найдутся две равные хорды.

задан 7 Янв 20:46

1

Достаточно рассматривать хорды, исходящие из фиксированной точки. Их 19, и среди них есть диаметр. По 8 хорд относительно него симметричны. Поэтому разных длин бывает всего 9. Далее -- принцип Дирихле.

(7 Янв 21:03) falcao

@falcao, понял, спасибо.

(7 Янв 21:45) make78
1

@falcao, не получается так. Разных длин будет 10... Симметричны по 9 хорд.

(8 Янв 21:35) make78
1

@make78: да, Вы правы. Я пропустил условие о попарном разбиении -- без него само утверждение будет неверно. Тут нужна дополнительная аргументация.

Раскрасим 20 точек через одну в красный и синий цвета. Разных длин будет 10, и если все они по разу задействованы, то среди них 5 соединят точки одинаковых цветов, а 5 соединят точки разных цветов. Концы дуг второго типа дают поровну красных и синих. Поскольку 5 нечётно, у концов дуг первого типа какой-то цвет будет преобладать.

(8 Янв 21:57) falcao

@falcao, благодарю!

(8 Янв 23:16) make78
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×273

задан
7 Янв 20:46

показан
105 раз

обновлен
8 Янв 23:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru