На основании $%AC$% равнобедренного треугольника $%ABC$% взята произвольная точка $%M$%, через неё проведены прямые, параллельные боковым сторонам треугольника, пересекающие стороны $%AB$% и $%BC$% в точках $%P$% и $%T$% соответственно. Доказать, что точка $%E$%, симметричная $%M$% относительно прямой $%PT$%, лежит на окружности описанной вокруг треугольника $%ABC$%.

задан 8 Янв 19:54

10|600 символов нужно символов осталось
3

alt text

$$BT=PM=EP\ , \ BP=TM=ET \Rightarrow \triangle BPT=\triangle EPT \ ,\ EB \parallel PT$$

$$\angle EBC=\angle BEP\ , \ \angle AEP=\angle PAE\ ,\ \angle BAC=\angle BCA \Rightarrow \angle EBC+\angle EAC= \angle BEA+\angle ACB=180^o$$

ссылка

отвечен 9 Янв 0:21

изменен 9 Янв 1:00

@Sergic Primazon: В решении всё понятно. Огромное спасибо! Но по-моему вкралась небольшая неточность. У Вас написано, что $%\angle EPC=\angle BEP$%, а должно быть, мне кажется записано, что $%\angle EBC=\angle BEP$%. С уважением.

(9 Янв 0:31) serg55
10|600 символов нужно символов осталось
2

Я решал несколько другим способом -- для разнообразия, изложу решение.

Пусть $%O$% -- центр описанной окружности. Соединим его с точками $%T$% и $%P$%, а также с вершинами $%A$% и $%%B$%. Треугольники $%OAT$% и $%OBP$% оказываются равны по дум сторонам и углу между ними: $%OA=OB$%; $%AT=TM=BP$%; угол $%OAB$% равен $%OBA$% и равен $%OBC$%. Отсюда $%OT=OP$%.

При симметрии относительно серединного перпендикуляра к $%TP$%, точка $%B$% переходит в такую точку $%E'$% на описанной окружности, для которой $%PBE'T$% -- равнобочная трапеция. При этом треугольник $%TE'P$% оказывается симметричен $%TMP$% относительно прямой $%TP$%, то есть $%E=E'$%, и эта точка лежит на описанной окружности.

ссылка

отвечен 9 Янв 1:54

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×651

задан
8 Янв 19:54

показан
209 раз

обновлен
9 Янв 1:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru