Какая основная идея доказательства леммы Д'аламбера. Немного не могу понять эту идею...

задан 8 Янв 20:08

@sayyo: это Вы про лемму, которая возникает в ходе доказательства основной теоремы алгебры многочленов? Если да, то формулировка там очень понятная, а суть доказательства достаточно легко раскрыть.

(8 Янв 20:17) falcao

Да, про эту лемму. Формулировка ясна,немного не понятно доказательство

(8 Янв 20:29) sayyo
10|600 символов нужно символов осталось
2

Итак, дан многочлен $%f(z)$% степени $%n\ge1$% с комплексными коэффициентами. Пусть $%f(z_0)\ne0$%. Требуется найти точку $%z\in\mathbb C$% такую, в которой модуль многочлена уменьшается, то есть $%|f(z)| < |f(z_0)|$%.

Прежде всего, рассмотрим многочлен $%f(z+z_0)$%. Далее разделим его на свободный член. Тогда задача сведётся к случаю $%g(0)=1$%. Вблизи нуля надо найти точку, в которой значение многочлена по модулю меньше 1.

Поскольку $%g(z)$% не является константой, он имеет вид $%g(z)=1+cz^k+\cdots$%, где $%c\ne0$%, $%k\ge1$%. При малых $%z$% правая часть примерно равна $%1+cz^k$%, так как остальные слагаемые бесконечно малы относительно $%z^k$%. Аргумент $%z$% принимает все возможные значения. Аргумент $%z^k$% получается умножением на $%k$%, и при этом также принимает все значения. Поэтому среди них есть значение $%\pi$%, которое соответствует отрицательному вещественному числу. При малых значениях $%z$% получается, что мы к $%g(0)=1$% прибавляем маленькое по модулю отрицательное число. В итоге модуль $%g(z)$% становится чуть меньше 1, и этого для доказательства достаточно.

Теперь чуть более формально. С учётом остальных членов, мы имеем $%g(z)=1+cz^k(1+o(1))$% при $%z\to0$%. Поэтому сначала выбираем такое $%z$%, для которого аргумент $%cz^k$% равен $%\pi$%, как и выше. На комплексной плоскости число $%1+cz^k$% расположено чуть левее единицы. Пусть расстояние до единицы равно $%r$%, где $%r$% -- малое положительное число (скажем, оно меньше $%1/2$%). Окружим его окрестностью радиуса $%r/2$%. Тогда все её точки будут по модулю меньше 1, что видно из геометрической картинки. Любая из них нам подходит в качестве значения переменной. В формуле для $%g(z)$% мы к числу $%1+cz^k$% прибавляем величину $%cz^ko(1)$%, которая стремится к нулю, поэтому при достаточно малом $%|z|$% её можно сделать меньше заданной величины -- в частности, меньше $%r/2$%.

ссылка

отвечен 8 Янв 20:52

1)Почему аргумент z^k получается умножением на k? 2)А при чем тут число пи? И почему оно отрицательное?

(8 Янв 21:22) sayyo

@sayyo: при изучении каких-то сложных вещей нужно знать "назубок" вещи самые простые. Повторите по учебнику свойства модуля и аргумента комплексного числа (включая определения). Модуль произведения равен произведению модулей. Аргумент произведения равен сумме аргументов. В частности, arg(z^k)=arg(zz...z)=arg(z)+arg(z)+...+arg(z)=karg(z). Поэтому аргумент умножается на k.

То, что аргумент отрицательного вещественного числа равен п, следует из определения аргумента. Чтобы получить луч Oz, где z отрицательное, нужно луч Ox повернуть на угол п.

(8 Янв 21:36) falcao

А для чего мы говорим про аргумент комплексного числа, когда можно просто говорить о комплексных числах?

(8 Янв 22:20) sayyo

"При малых значениях z получается, что мы к g(0)=1 прибавляем маленькое по модулю отрицательное число" - а при больших z мы разве не прибавляем отрицательные числа?

(8 Янв 22:21) sayyo

@sayyo: слово "аргумент" многозначно. Если мы пишем y=f(x) для какой-то функции, то x можно назвать аргументом функции f, а y её значением. Но для комплексных чисел понятие аргумента имеет конкретный смысл -- это угол, который мы связываем с каждым отличным от нуля числом. Скажем, arg(3)=0, arg(-1/7)=п, arg(2i)=п/2. Если эти вещи не ясны сразу и с очевидностью, то лемму Даламбера надо отложить и почитать "бэкграунд" в учебнике.

Причина замечания о "малом" числе вот какая. Если к 1 прибавить -1/100, то будет 0,99 вместо 1. Это "успех": модуль стал меньше. Если прибавить -100, будет -99.

(8 Янв 22:37) falcao

Я правильно понимаю, что сначала мы рассмотрели значение многочлена f(x) в z+z0? Затем поделили многочлен f(z+z0) на свободный член и получили новым многочлен g(x)? Почему мы рассматриваем значение многочлена g(x) в точке 0?

(9 Янв 0:00) sayyo

@sayyo: g(z)=f(z+z0)/f(z0), поэтому g(0)=1. Значение в нуле рассматривается потому, что при z=0 получается z+z0=z0. Этот приём сдвига переменной, который применяется в начале, всецело тривиален.

(9 Янв 0:08) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,958

задан
8 Янв 20:08

показан
53 раза

обновлен
9 Янв 0:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru