последовательность задана рекурентно: $$ b_{1}= \frac{1}{2}, b_{n+1}= \frac{ b_{n}^{2} }{ b_{n}^{2} - b_{n} +1 }$$ доказать что $$ b_{1}+ b_{2}+...+ b_{2018} < 1$$

задан 9 Янв 19:16

10|600 символов нужно символов осталось
3

Введём последовательность обратных величин $%c_n=b_n^{-1}$%. Для неё имеем $%c_1=2$%, $%c_{n+1}=c_n^2-c_n+1$% при $%n\ge1$%. Получаем числа 2, 3, 7, 43, ... . Это "узнаваемая" последовательность, в которой каждый член равен произведению предыдущих, увеличенному на 1. Это сразу доказывается по индукции: если для какого-то члена дано, что $%c_n=c_1\ldots c_{n-1}+1$%, то для следующего имеем $%c_{n+1}=(c_n-1)c_n+1=c_1\ldots c_n+1$%.

Для частичных сумм последовательность $%b_n$% имеем $%b_1=\frac12=1-\frac12$%, $%b_2=\frac12+\frac13=1-\frac16$%, $%b_3=\frac12+\frac13+\frac17=1-\frac16+\frac17=1-\frac1{42}$%, то есть имеют место равенства $%b_1+\cdots+b_n=1-\frac1{c_1\ldots c_n}$%. Это равенство также доказывается по индукции: предполагая, что при данном $%n$% оно верно, мы далее имеем $%b_1+\cdots+b_n+b_{n+1}=1-\frac1{c_1\ldots c_n}+\frac1{c_1\ldots c_n+1}$%. Здесь из единицы вычитается число вида $%\frac1k-\frac1{k+1}=\frac1{k(k+1)}$%, где $%k=c_1\ldots c_n=c_{n+1}-1$%. Поэтому $%k(k+1)=c_1\ldots c_nc_{n+1}$%, что и требовалось установить. В частности, $%b_1+\cdots+b_n < 1$% для всех натуральных $%n$%.

ссылка

отвечен 9 Янв 22:19

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×16
×9
×5
×2

задан
9 Янв 19:16

показан
44 раза

обновлен
9 Янв 22:19

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru