Назовём составное натуральное число свитским, если сумма его десятичных цифр равна сумме десятичных цифр всех простых сомножителей в его разложении. Например, число 27 является свитским.

Мне кажется, что свитских чисел должно быть бесконечно много. Пока не могу этого доказать, но у меня есть одна идея. Допустим, у некоторого числа сумма цифр простых сомножителей превышает сумму цифр самого числа на число, кратное 7. Тогда к исходному числу можно приписывать нули до тех пор, пока мы не получим свитское число. Ведь сумма цифр самого числа при приписывании нуля не изменяется, а сумма цифр его простых сомножителей увеличивается на 7.

Пожалуйста, помогите проложить мостик от этой идеи к доказательству.

задан 10 Янв 11:41

изменен 10 Янв 11:51

1

@Казвертеночка: наверное, не простых делителей (у 27 есть только один такой, и сумма цифр равна 3), а простых сомножителей в разложении. То есть S(p1..pn)=S(p1)+...+S(pn).

(10 Янв 11:46) falcao
1

@falcao, спасибо за верное замечание, сейчас перепишу.

(10 Янв 11:49) Казвертеночка
1

@Казвертеночка: я посмотрел на компьютере -- чисел такого вида оказалось очень много. Я поначалу думал, что они совсем редкие. Но в пределах первой тысячи их около 50. И тип разложения на простые там везде разный, хотя числа вида pq преобладают.

Идея с разницей, кратной 7, смотрится очень интересно, но тут есть вот какое препятствие. Если просто брать случайные числа, то там разница остатков тоже случайна, и часто должна быть кратна 7. Однако подходят случаи, когда сумма цифр велика, а не наоборот. А она растёт медленно, поэтому даже на статистическом уровне этого пока не хватает.

(11 Янв 3:02) falcao

@falcao, кстати, эта последовательность, оказывается, есть в OEIS: https://oeis.org/A006753

(11 Янв 3:14) Казвертеночка
1

@Казвертеночка: удивительно! Свойство казалось совершенно искусственным (хотя и интересным). Поэтому я даже проверять его в oeis нет стал. Особенно мне понравилась история вопроса, что это свойство появилось при анализе телефонных номеров :)

Как я понял из ссылок, бесконечность множества была доказана в 1987 году, но текст самой статьи я пока не пробовал добыть. Видимо, это не совсем тривиально, хотя должно быть доступно для понимания.

(11 Янв 3:26) falcao

@falcao, «Поэтому я даже проверять его в oeis нет стал.» ..... Мне тоже поначалу показалось, что проверять не стОит. А потом всё-таки подумалось: а вдруг?

(11 Янв 3:31) Казвертеночка
1

Круто! И та же идея с делимостью на 7 даже использована!

(11 Янв 10:26) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,091
×170
×41
×26
×6

задан
10 Янв 11:41

показан
172 раза

обновлен
11 Янв 10:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru