Есть 11 желтых и 5 белых монет, среди которых ровно одна фальшивая. Все настоящие весят одинаково. Если фальшивая желтая - то она может быть как легче настоящей, так и тяжелее, а если белая - то только тяжелее. Как за 3 взвешивания найти фальшивую монету и определить, легче она или тяжелее, чем настоящие?

задан 10 Янв 20:03

10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь поиск правильного плана взвешиваний облегчается тем, что ситуация "критическая", то есть надо разрешить ровно 3^3=27 различных ситуаций (22 для жёлтых монет и 5 для белых). Поэтому для каждого из трёх исходов первого взвешивания должно остаться ровно по 9 вариантов. Если в первом взвешивании не участвует x жёлтых монет и y белых, то 2x+y=9. Помимо этого, во взвешивании участвует чётное число монет, и тогда x+y чётно, поэтому x и y должны быть нечётными. Отсюда однозначно приходим к условию x=y=3. Для первого взвешивания мы должны взять 8 жёлтых и 2 белых монеты. Нетрудно проверить, что план положить на одну чашу 5 жёлтых монет не проходит из-за "количества информации". Поэтому кладём на ту и другую чашу 4Ж+1Б.

Случай 1. Первое взвешивание дало равновесие. Тогда фальшивая монета среди оставшихся 3Ж+3Б, где вариантов ровно 9. Оставить в стороне мы можем чётное число монет, среди которых a жёлтых и b белых; при этом 2a+b=3, то есть a=b=1. Две жёлтых и две белых кладём во втором взвешивании по принципу Ж+Б на каждую из чаш. В случае равновесия, сравниваем оставшуюся жёлтую монету с одной из имеющихся настоящих, после чего всё узнаём. В случае, когда одна из чаш перевесила, у нас есть три варианта: фальшивой является или белая монета с тяжёлой чаши, или жёлтая тяжёлая с перевесившей чаши, или жёлтая лёгкая с другой чаши. Условно: ЖЛ, ЖТ, БТ. В третьем взвешивании достаточно будет сравнить последние две.

Случай 2. В первом взвешивании одна из чаш перевесила. Тогда у нас имеется 9 вариантов: 4 ЖТ, 4 ЖЛ, 1БТ. В сторону можно отложить по одной монете каждого вида -- при этом возникает 3 варианта, и если фальшивая монета окажется среди них, то одного взвешивания для её выявления хватает, как в предыдущем абзаце.

Здесь у нас есть 6 настоящих монет, не принимавших участия в первом взвешивании. Сравниваем их с 6 жёлтыми, из которых 3 ЖЛ и 3 ЖТ. Равновесие ведёт к только что разобранному случаю. Если чаша с 6 жёлтыми оказалась легче (тяжелее), то фальшивая монета среди 3 ЖЛ (3 ЖТ). Оба случая аналогичны, и третьим взвешиванием надо сравнить две монеты из трёх "подозрительных".

ссылка

отвечен 10 Янв 23:55

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×29

задан
10 Янв 20:03

показан
64 раза

обновлен
10 Янв 23:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru