Дано четырехмерное пространство (как я понимаю, в нём находится базис, состоящий из четырех векторов). Нужно найти матрицу оператора в четырехмерном пространстве (получается, самим придумать и составить; как я понимаю, она будет состоять из 4 строк и 4 столбцов?), причём размерность ядра Ker равно размерности образа Im и равно 2. Далее необходимо найти исходя из составленной матрицы базис ядра и образа.

Прошу помочь разобраться в этом задании. С этими линейными операторами, ядрами, образами прям совсем туго((

задан 10 Янв 20:35

1

Достаточно взять любую матрицу 4x4 ранга 2. Для этого пишем первые две строки наугад, чтобы они не были пропорциональными. Скажем, 1 0 -2 3 и 0 1 4 -1. В качестве третьей строки берём любые, которые выражаются через первые две. Можно брать значения a+b, 2a-b, 3a+2b и т.п.

Базис ядра -- это базис в пространстве решений однородной системы. Решаем её методом Гаусса, находя два базисных вектора. В качестве базиса образа можно взять любые два столбца, которые не пропорциональны.

Все эти абстрактные понятия на самом деле легко освоить на конкретных примерах.

(10 Янв 22:07) falcao

@falcao вы сделали вывод о том, что ранг матрицы будет равен 2 исходя из размерности образа? Всегда такое правило действует?

(11 Янв 2:56) Yu_Ko
1

@Yu_Ko: здесь оба числа равны 2, поэтому разницы нет. А общее правило такое: если матрица имеет размер nxn и ранг r, то образ имеет размерность r, а размерность ядра равна n-r. Это более или менее очевидно -- особенно для образа. Ведь он состоит из столбцов матрицы и всех их линейных комбинаций. А линейно независимых столбцов, дающих базис образа, будет в точности r. Сумма же размерностей образа и ядра равна размерности всего пространства, то есть n.

(11 Янв 3:06) falcao

@falcao как же вы выручаете! Спасибо огромное! Благодаря вам всё прояснилось, чего не добьёшься от нынешних преподавателей в вузе(

(11 Янв 3:12) Yu_Ko
1

@Yu_Ko: форму для того и существует, чтобы смысл разных понятий прояснять. Преподаватели так поступают не от хорошей жизни. Дело в том, что когда в короткий по времени курс надо уложить много разных методов решения задач (включая дифференциальные уравнения, или ряды Фурье), то там поневоле приходится ограничиваться изложением типовых "рецептов". Типа, капусты вот столько, а морковки в 3 раза меньше :) Тут как бы уже не до кулинарных "изысков" :)

(11 Янв 3:35) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,083
×348
×131
×34
×4

задан
10 Янв 20:35

показан
132 раза

обновлен
11 Янв 3:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru