1)Доказать, что ([a,b],c)=(a,[b,c])

2)Точки E и F - середины AB и CD четырёхугольника ABCD. Доказать, что вектор EF=(вектор BC+вектор AD)/2.(Из этого вывести th. о средней линии трапеции)

задан 10 Янв 22:51

изменен 10 Янв 22:53

Первое равенство можно вывести из формулы объёма параллелепипеда, построенного на векторах a,b,c (произведение площади основания на высоту). Если этого указания не достаточно, лучше не мучиться и прочитать подробности в учебнике.

Для второго равенства достаточно знать формулу для выражения радиус-вектора середины отрезка как полусуммы концов. А также помнить, что любой вектор равен разности радиус-векторов его конца и начала. Все радиус-векторы точек имеют началом произвольную фиксированную точку O.

(11 Янв 0:23) falcao

1)То есть можно просто показать, что оба выражения дают объем параллелепипеда, построенного на векторах a,b,c, поэтому равенство верно? 2)Получилось. Насчет th. о средней линии трапеции: Можно ли просто сказать, что в трапеции векторы BC и AD коллинеарны, поэтому средняя линия трапеции будет параллельна основаниям и равна их полусумме?

(11 Янв 0:40) sayyo

@sayyo: да, в первом пункте это самый лёгкий способ убедиться, что оба выражения дают одну и ту же величину. Если более точно, то это ориентированный объём, то есть объём с учётом знака.

В пункте 2, а также в случаях деления отрезка в заданном отношении, техника работы с радиус-векторами обычно работает безотказно.

Про среднюю линию трапеции -- да, разумеется. Полезно только сказать, что BC и AD не просто коллинеарны, а ещё и сонаправлены. Поэтому будет полусумма, а не полуразность.

(11 Янв 1:31) falcao

Немного не понятно, как в этом случае определить знаки объемов? Если принять базис a,b,c за положительный, то какие базисы будут в первом и во втором случаях?(чтобы составить матрицы перехода и посчитать определители)

(11 Янв 1:37) sayyo

@sayyo: об этом можно не думать. Для определения знаков есть простые правила, и там вариантов всего два. Но устно объяснять эти вещи трудно, потому что они связаны с понятиями "верх-вниз", "вправо-влево" и прочими вещами типа "правила буравчика" :)

На уровне определителей, там он будет один и тот же -- со строками из координат a,b,c. Там надо следить не за этим, а за направлением векторного произведения. Грубо говоря, влияет только порядок следования векторов. Циклический сдвиг не меняет знака.

(11 Янв 4:03) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×779

задан
10 Янв 22:51

показан
80 раз

обновлен
11 Янв 4:03

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru