Можно ли поставить в ряд все натуральные числа от 1 до 100 так, чтобы каждые два соседних числа отличались на целое число процентов (проценты можно брать от любого из двух сравниваемых чисел, по желанию)?

задан 11 Янв 1:46

изменен 11 Янв 12:07

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть a < b -- два соседних числа. Тогда 100(b-a)/a или 100(b-a)/b целое. Иными словами, 100a делится на b или 100b делится на a, где порядок следования чисел уже не играет роли.

Допустим, что одно из чисел простое, и оно больше 50. Тогда оно взаимно просто с любым из оставшихся, и случай делимости 100a на p отбрасываем. Если же 100p делится на a, то a -- делитель 100. Таких чисел всего 9, а простых чисел в отрезке [51,100] имеется 10. Рядом с каждым из них по обе стороны должны быть делители 100. Если с одного краю находится не простое число большее 50, то промежутков как минимум 10. Если с обоих краёв стоят такие простые, то где-то между ними есть достаточно длинный промежуток, и снова имеем 10 мест, на которых должны быть делители.

Итого имеем отрицательный ответ. Здесь возможны, наверное, и другие соображения.

ссылка

отвечен 11 Янв 10:35

@falcao, большое спасибо!

(11 Янв 12:06) Казвертеночка

@falcao, любопытно, что для чисел от 1 до 10 это легко сделать: 7, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 9. Напрашивается обобщение задачи - для каких наборов чисел от 1 до $%n$% это можно сделать?

(11 Янв 12:09) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×965
×146
×2
×1
×1

задан
11 Янв 1:46

показан
86 раз

обновлен
11 Янв 12:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru