Найти все простые числа p и q такие, что $%p^2-p+1=q^3$% и доказать, что найдены ВСЕ такие числа.

задан 6 Май '13 11:49

изменен 6 Май '13 14:13

Angry%20Bird's gravatar image


9125

10|600 символов нужно символов осталось
6

Ход решения 1. Найдем положительное решение уравнения $%x^2-x-q^3+1=0. $% Оно потребуется для оценки значения p сверху $% (p< q \sqrt q +1) $% 2. Из равенства $%p(p-1)=(q-1)(q^2+q+1) $% имеем $%p=n(q-1)+1$% (n – натуральное), $%np=q^2+q+1$%, откуда $%q^2+q-n+1=n(p-1), $% $% (q^2-1)+(q-1)-n+3=n^2(q-1), n-3=k(q-1) $% (k – целое), $%n= k(q-1)+3, $% $% p=(k(q-1)+3)(q-1)+1. $% 3. Теперь вспоминаем про оценку сверху, из которой с учетом последнего выражения получается небольшое число допустимых вариантов, проверка которых приводит к единственному решению. Действительно, при $% q \ge 7 $% с учетом неравенства п.1 следует k=0, откуда получаем единственное решение p=19, q=7.

ссылка

отвечен 7 Май '13 0:00

изменен 7 Май '13 0:58

@Urt: очень здорово! Я этот путь тоже рассматривал, то есть составил систему уравнений, но не догадался до важного шага, состоящего в том, что $%n-3$% делится на $%q-1$%. Тогда $%p$% имеет порядок $%(q-1)^2$%, и всё сводится к конечному числу случаев. На самом деле, тут концовка даже не связана с вычислениями: если $%n > 3$%, то $%k\ge1$%, $%p\ge q^2+q-1$%, $%p-1\ge(q-1)(q+2)$%. Из $%p(p-1)=q^3-1$% после сокращения на $%q-1$% в неравенстве сразу всё получается: далее ещё раз возникает множитель $%q-1$% в неравенстве $%(q-1)(q^2+3q+3)\le0$%. И простота числа $%q$% даже не используется.

(7 Май '13 0:40) falcao

@Falcao, спасибо за анализ и оценку.

(7 Май '13 0:46) Urt

@Urt Не могу понять как вы получили оценку $%p < q\sqrt q + 1$%?

(8 Ноя '14 16:20) void_pointer
1

$% p^2-p+1 =q^3 \to (p-1)^2=q^3-p<q^3 \to p < q\sqrt q + 1 $%

(8 Ноя '14 18:18) Urt
10|600 символов нужно символов осталось
0

Имеем решение $%p=19\quad,q=7.$% Что касается других решений, то пока не обнаружены. Вот программа, находящая решения в диапазоне $%1..100000.$%

alt text

ссылка

отвечен 6 Май '13 14:13

На основе несложных алгебраических преобразований уровня школьной алгебры устанавливается единственность решения: p=19, q=7. Откуда задача, где гарантия, что она не с какой-нибудь текущей олимпиады?

(6 Май '13 22:28) Urt

Ну, так помогите школьнику.

(6 Май '13 22:58) Anatoliy

@Urt: если Вы знаете решение в рамках школьного подхода, то его очень интересно было бы увидеть. Дело в том, что я пытался решать при помощи комплексных чисел (как в случае ВТФ для показателя 3), но там всё равно до конца не удалось довести рассуждение.

(6 Май '13 23:06) falcao
1

@Anatoliy, @Falcao. Уже подготовил ответ..."в силу занятости..." Не хочется переключаться, но постараюсь подготовить и выложить ход доказательства, из которого оно должно быть понятно. А все-таки, это помощь школьнику или наоборот?

(6 Май '13 23:19) Urt

@Urt: мне кажется, здесь надо исходить из соображений типа "презумпции невиновности". Если человек пытался решить задачу, но не смог, то он предложил её здесь. Когда кто-то предлагает серию тривиальных задач (как это сегодня было с школьной стереометрией), то такие вещи обычно игнорируются. А интересные задачи олимпиадного типа почему бы не обсудить?

(6 Май '13 23:39) falcao

Хорошее решение. Я, откровенно говоря, не прилагал достаточных усилий для ее решения. Был занят - обрабатывал земельный участок.

(7 Май '13 10:23) Anatoliy

Я очень рад Вашему появлению, @Anatoliy. Пожалуйста, появляйтесь хотя бы время от времени

(9 Ноя '14 23:01) nikolaykruzh...
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,606
×766
×551

задан
6 Май '13 11:49

показан
1017 раз

обновлен
9 Ноя '14 23:01

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru