Каждую из точных четвёртых степеней $%(0, 1, 16, 81, ...)$% заменим ближайшим к ней точным кубом. Получим последовательность: $%0, 1, 8, 64, 216, 729, 1331,\;\dots$%

В OEIS этой последовательности нет. Теперь всегда проверять буду, чтобы не наколоться, как в прошлый раз.

Итак, два вопроса касаемо полученной последовательности:

а) Может ли четвёртая степень лежать ровно посередине... а, нет, стоп-машина! Не может, очевидно, и вопрос снимается. Ведь один из ближайших кубов будет чётным, а другой-нет.

б) Как доказать, что среди членов полученной последовательности бесконечно много чисел, дающих остаток 2 при делении на 3?

задан 12 Янв 1:46

изменен 12 Янв 1:52

10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотрим числа вида $%(n^3+3)^4=n^{12}+12n^9+54n^6+\cdots$%. Они близки к точному кубу $%(n^4+4n)^3=n^{12}+12n^9+48n^6+64n^3$%. Первая величина больше второй. Следующий точный куб имеет вид $%(n^4+4n+1)^3=n^{12}+12n^9+3n^8+\cdots$%, поэтому при достаточно больших $%n$% расстояние между первым и вторым числом имеет порядок $%O(n^6)$%, а между первым и третьим -- оно растёт как восьмая степень. Значит, при $%n\gg1$% последовательность из условия будет включать куб числа $%n^4+4n$%. Если $%n$% сравнимо с 1 по модулю 3, то такое число, как и его куб, будет давать остаток 2 от деления на 3.

ссылка

отвечен 12 Янв 3:56

@falcao, большое спасибо! У Вас очень элегантное решение.

(12 Янв 12:43) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×897
×60
×36
×24
×18

задан
12 Янв 1:46

показан
39 раз

обновлен
12 Янв 12:43

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru