|
Каждую из точных четвёртых степеней $%(0, 1, 16, 81, ...)$% заменим ближайшим к ней точным кубом. Получим последовательность: $%0, 1, 8, 64, 216, 729, 1331,\;\dots$% В OEIS этой последовательности нет. Теперь всегда проверять буду, чтобы не наколоться, как в прошлый раз. Итак, два вопроса касаемо полученной последовательности: а) Может ли четвёртая степень лежать ровно посередине... а, нет, стоп-машина! Не может, очевидно, и вопрос снимается. Ведь один из ближайших кубов будет чётным, а другой-нет. б) Как доказать, что среди членов полученной последовательности бесконечно много чисел, дающих остаток 2 при делении на 3? задан 12 Янв '19 1:46 
Казвертеночка |
|
Рассмотрим числа вида $%(n^3+3)^4=n^{12}+12n^9+54n^6+\cdots$%. Они близки к точному кубу $%(n^4+4n)^3=n^{12}+12n^9+48n^6+64n^3$%. Первая величина больше второй. Следующий точный куб имеет вид $%(n^4+4n+1)^3=n^{12}+12n^9+3n^8+\cdots$%, поэтому при достаточно больших $%n$% расстояние между первым и вторым числом имеет порядок $%O(n^6)$%, а между первым и третьим -- оно растёт как восьмая степень. Значит, при $%n\gg1$% последовательность из условия будет включать куб числа $%n^4+4n$%. Если $%n$% сравнимо с 1 по модулю 3, то такое число, как и его куб, будет давать остаток 2 от деления на 3. отвечен 12 Янв '19 3:56 
falcao @falcao, большое спасибо! У Вас очень элегантное решение.
(12 Янв '19 12:43)
Казвертеночка
|