0
1

Доброго времени суток, не могу построить фактор-кольцо.

Доказать, что в кольце многочленов с целочисленными коэффициентами Z[x] относительно обычных операций сложения и умножения, подмножество многочленов I, делящихся без остатка на x^3+2x^2+2x+2 , - идеал. Построить фактор-кольцо Z[x] / I, является ли оно полем?

Не могу понять, какие элементы составляют фактор-кольцо и сколько их там

задан 12 Янв 14:35

10|600 символов нужно символов осталось
0

Для каждого многочлена $%f\in\mathbb Z[x]$% рассмотрим его остаток $%r(x)$% от деления на $%x^3+2x^2+2x+2$%. При этом $%f\sim r$%, то есть $%f-r\in I$%. Это значит, что в каждом смежном классе по идеалу содержится ровно один многочлен степени $%\le2$%. Поэтому можно считать (с точностью до изоморфизма), что факторкольцо $%\mathbb Z[x]/I$% состоит из элементов вида $%a+bx+cx^2$%. Сложение осуществляется обычным образом, а умножение состоит в обычном перемножении с заменой результата на остаток от деления. Это полностью описывает факторкольцо.

Многочлен $%x^3+2x^2+2x+2$% не имеет рациональных корней (если бы имел, то они были бы целыми, делящими $%2$%, однако числа $%\pm1$%, $%\pm2$% корнями не будут, что проверяется непосредственно). Отсюда следует, что многочлен неприводим над полем рациональных чисел. Из этого следует, что факторкольцо не имеет делителей нуля.

Полем оно не будет, так как элемент $%2$% необратим в кольце. В самом деле, если он обратим, что у него есть обратный вида $%a+bx+cx^2$%, то есть $%2(a+bx+cx^2)-1$% делится на $%x^3+2x^2+2x+2$%. Из этого следовало бы, что $%2a=1$%, но для целого $%a$% это невозможно.

ссылка

отвечен 12 Янв 18:24

Не могли бы вы, пожалуйста, более подробно пояснить , почему в каждом смежном классе по идеалу содержится ровно один многочлен степени ≤ 2 и именно такой степени, и почему умножение состоит именно таким образом

(12 Янв 23:02) woboy

@woboy: в одном и том же классе содержатся те и только те многочлены, которые дают один и тот же остаток от деления на p(x)=x^3+2x^2+2x+2. Среди них имеется в том числе и сам этот остаток, который выделяется тем свойством, что его степень меньше степени p(x), то есть не больше 2. Этот остаток может быть любым, поэтому мы имеем множество всех многочленов вида a+bx+cx^2 с целыми коэффициентами.

Если r1 и r2 -- два остатка, то их классы умножаются по правилу (r1+I)(r2+I)=r1r2+I=r+I, где r -- остаток от деления r1r2 на p(x).

(12 Янв 23:42) falcao

Я правильно понимаю, что, например, для многочлена x смежным классом будет x + I, а для многочлена x^3+2x^2+2x+2 будет 0 + I?

(15 Янв 13:03) woboy

@woboy: да, правильно. Вообще-то для любого многочлена f(x) его смежным классом будет f(x)+I в силу определения, но этот класс будет равен также r(x)+I, где r -- остаток от деления. Это наиболее простой вид записи смежного класса. Для x остаток равен x, для p(x) он равен нулю.

(15 Янв 17:33) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×234
×43

задан
12 Янв 14:35

показан
166 раз

обновлен
15 Янв 17:33

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru