При каких a множество решений неравенств совпадают?

( a^2 - 6a + 8 ) * x <= 3a - 12

( 2a^2 - a^3 ) * x >= 6a + 7 - 4*a^2

Нашел, что они совпадают при a = 2 ( решений нет), но в ответе написано : "2 и 7". Как находится 7? Там что-то с совпадением лучей, но никак не пойму как это выводится.

задан 12 Янв '19 15:17

10|600 символов нужно символов осталось
0

Прежде всего, можно заметить, что неравенство с параметрами $%Ax\le B$% равносильно $%x\le B/A$% при $%A > 0$% и равносильно $%x\ge B/A$% при $%A < 0$%. Если $%A=0$%, то при $%B\ge0$% любое $%x$% будет его решением, а при $%B < 0$% множество решений пусто.

Первое неравенство имеет вид $%(a-2)(a-4)x\le3(a-4)$%. Во втором имеем $%a^2(2-a)x\ge6a+7-4a^2$%. Исследуем сначала случаи обращения в ноль коэффициентов при $%x$%. Если $%a=2$%, то оба неравенства имеют пустое множество решений. Это значение подходит. При $%a=4$% у первого неравенства множество решений -- вся числовая прямая, у второго -- не вся. Такое значение не подходит. Ясно также, что $%a\ne0$%: у второго неравенства множество решений пусто, у первого непусто.

Рассмотрим случай $%a > 4$%. Первое неравенство равносильно $%(a-2)x\le3$%. Второе можно записать в виде $%a^2(a-2)x\le4a^2-6a-7$%, меняя знак. После деления на $%a^2 > 0$% получается $%(a-2)x\le4-6a^{-1}-7a^{-2}$%. Ввиду $%a\ne2$%, для равносильности необходимо совпадение правых частей: $%4-6a^{-1}-7a^{-2}=3$%. Отсюда $%a^2-6a-7=(a+1)(a-7)=0$%, то есть $%a=7$% в пределах данного случая.

Теперь пусть $%a < 4$%. Первое неравенство принимает вид $%(a-2)x\ge3$%. Для второго, как и выше, имеем неравенство другого знака: $%(a-2)x\le4-6a^{-1}-7a^{-2}$%. Понятно, что относительно переменной $%y=(a-2)x$%, множества решений будет отличаться. Ввиду $%a\ne2$%, они будут отличаться также как множества решений относительно $%x$%.

ссылка

отвечен 12 Янв '19 18:46

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×43

задан
12 Янв '19 15:17

показан
1428 раз

обновлен
12 Янв '19 18:46

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru