Два игрока играют в следующую игру: сначала на доске написаны числа 2,4,6,8,…,2014. За один ход можно уменьшить на 1 любое из написанных чисел. При этом с доски стираются нули и числа, совпадающие с какими – то из уже написанных на доске чисел. Проигрывает тот, после чьего хода на доске не останется ни одного числа. Кто выигрывает при правильной игре?

Мне показалось, что это — игра-шутка, так как после каждого из ходов чётность суммы всех чисел на доске изменяется на противоположную (стирание нуля, как и стирание двух одинаковых чисел на чётность не влияет), из чего следует, что при любой игре каждой из сторон выигрывает первый игрок.

Что не так в моих рассуждениях?

Авторское решение совершенно иное:

Ответ: Выигрывает первый игрок. Решение: Выигрышная стратегия для первого игрока такова: каждый раз выбирать для своего хода наименьшее из написанных на доске нечетных чисел, а если таковых нет – произвольное (четное) число. Если первый игрок следует своей стратегии, то после первого хода образуется одно нечетное число, после хода второго игрока – 0 или 2 нечетных. Следовательно, после хода первого вновь будет ровно одно нечетное число. При этом не может появиться пара $%(2k-1, 2k)$% так как она может возникнуть только из пары $%(2k-1, 2k+1)$% а первый игрок выбирает для хода меньшее из двух написанных нечетных чисел. Значит, после хода второго игрока вновь будет 0 или 2 нечетных числа (ровно одно могло бы появиться, если бы перед каждым ходом была пара $%(2k-1, 2k)$%) и т.д. Значит, после каждого хода первого игрока число нечетных чисел равно 1 и он не проигрывает.

задан 15 Янв 18:17

изменен 15 Янв 18:25

2

Друг другу не противоречите, значит повода сомневаться в своем решении нет (его и без авторского решения, правда, тоже не было). Бывают авторские проколы. Errare humanum est...

(15 Янв 19:13) spades
1

@Казвертеночка: тут всё дело в трактовке условия. Подразумевается, что стираются лишь "дубликаты" чисел, то есть в случае появления a, a (2 раза) одно a стираем (так как оно с чем-то совпадает), но один экземпляр числа a остаётся (после первого стирания он уже не совпадает ни с чем, и его мы не имеем права стирать). Тогда чётность суммы чисел может меняться при стирании одного нечётного a.

В частности, в "шуточной" версии игры первый не может проиграть, даже если захочет. А здесь он может "поддаться", играя неправильно. Например: 2,4->1,4->1,3->1,2->1,1=1->0.

(15 Янв 23:11) falcao
1

@falcao, а мне показалось, что если написано: «числа, совпадающие с какими – то из уже написанных на доске чисел», то стирать надо оба числа. Пусть у нас написано две пятёрки. Мы стёрли одну из них, но ведь вторая тоже совпадает с какими – то из уже написанных на доске чисел, а именно, с первой пятёркой. Ведь если первая пятёрка стёрта, разве она перестаёт от этого быть уже написанной?

(16 Янв 0:37) Казвертеночка
1

@Казвертеночка: здесь сразу понятно, какая трактовка подходит, а какая нет. Поэтому речь может идти разве что о более точной формулировке, однозначно передающей нужный смысл. Я согласен с Вашим замечанием, что слово "уже" можно трактовать и как "когда-либо", хотя я его понимал в смысле "имеющихся в данный момент". То есть лучше было бы сказать про совпадения с имеющимися на доске числами. Или более прямо: из нескольких одинаковых чисел оставляем одно.

(16 Янв 0:45) falcao

@falcao, большое спасибо!

(16 Янв 0:56) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×77
×7
×5
×2
×2

задан
15 Янв 18:17

показан
160 раз

обновлен
16 Янв 0:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru