sin(pi/7)SIN(2pi/7)sin(4pi/7)

задан 16 Янв '19 22:57

10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотрим формулу Муавра $%(\cos t+i\sin t)^7=\cos7t+i\sin7t$%. Раскроем скобки в левой части по биномиальной формуле, и приравняем мнимые части слева и справа. Получится $%\sin7t=C_7^1\cos^6t\sin t-C_7^3\cos^4t\sin^3t+C_7^5\cos^2t\sin^5t-C_7^7\sin^7t$%. Отделим множитель $%\sin t$%, и выразим квадраты косинусов через квадрат синуса, полагая $%z=\sin^2t$%. Получится $%\sin7z=\sin t(7(1-z)^3-35(1-z)^2z+21(1-z)z^2-z^3)$%. Многочлен от $%z$%, который получился в скобках, можно сосчитать целиком, но нас интересует только его свободный член и старший коэффициент. Получается $%p(z)=7+\cdots-64z^3$%.

По теореме Виета, произведение корней $%p(z)$% равно $%\frac7{64}$%. При $%t\in\{\frac{\pi}7,\frac{2\pi}7,\frac{4\pi}7\}$% мы имеем $%\sin7t=0$%, а также $%\sin t\ne0$%. Это значит, что для $%z=\sin^2t$% из указанного множества, многочлен $%p(z)$% обращается в ноль. Легко видеть, что получаемые три значения для $%z$% попарно различны (в этом просто убедиться, выразив их через косинусы удвоенного угла). Значит, перед нами три вещественных корня многочлена $%p(z)$%, откуда $$\sin^2\frac{\pi}7\sin^2\frac{2\pi}7\sin^2\frac{4\pi}7=\frac7{64}.$$ Все синусы здесь положительны, и извлекая квадратный корень, мы приходим к равенству $$\sin\frac{\pi}7\sin\frac{2\pi}7\sin\frac{4\pi}7=\frac{\sqrt7}8.$$

ссылка

отвечен 17 Янв '19 0:25

1

любопытно что в уме считается $%\cos(\frac{\pi}{7})\cos(\frac{2\pi}{7})\cos(\frac{4\pi}{7})=-\frac{1}{8}$% но использовать это не удается

(17 Янв '19 1:34) abc

@abc: да, для косинусов задача попроще. Она уже встречалась на форуме, и я вначале подумал на повтор, но потом осознал разницу. Хотя не исключаю, что про синусы тоже где-то спрашивали.

(17 Янв '19 3:42) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×970

задан
16 Янв '19 22:57

показан
471 раз

обновлен
17 Янв '19 3:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru