алгебра - Уравнение в натуральных числах

Уравнения такого типа можно решать как в целых числах, так и в рациональных. Прежде всего, здесь можно домножить на $%64$% и получить уравнение $%(8m-4)^2+48=(4n)^3$%. Вчера мне удалось найти информацию о том, что все решения уравнения $%y^2+48=x^3$% в целых числах известны: это $%(4;\pm4)$% и $%(28,\pm148)$%. Отсюда вытекает, что у уравнения $%m^2-m+1=n^2$% есть ровно два решения в натуральных числах, которые и были найдены, то есть $%(1,1)$% и $%(19,7)$%. Подробности -- чуть ниже.

Прежде всего, уравнения вида $%y^2=x^3+k$%, где $%k$% целое, изучались достаточно интенсивно. Здесь можно отметить уравнение, рассматривавшееся Ферма: $%y^2=x^3-2$%. Оно имеет очевидное решение $%y=5$%, $%x=3$%, а других решений нет. Впервые это доказал, если я правильно помню, Эйлер. Там используются комплексные числа, и доказательство школьного уровня мне ни разу не встречалось. Также к этому классу задач относится уравнение Ферма для показателя $%3$%. Оно тоже изучалось Эйлером, с применением арифметики чисел вида $%a+b\zeta$%, где $%a,b\in{\mathbb Z}$%, $%\zeta=(-1+\sqrt{-3})/2$%. При помощи этих средств было доказано, что уравнение $%X^3+Y^3=1$% не имеет решений в рациональных числах. Это уравнение при помощи рациональных (в обе стороны) замен переменных может быть переписано в виде $%y^2=x^3+k$%, где $%k=-432$% (на первый взгляд звучит удивительно). То есть эта задача как бы из той же серии.

Теперь вот как я сам пытался решать уравнение $%m^2-m+1=n^3$%. Можно разложить левую часть на множители: $%m^2-m+1=(m-\lambda_1)(m-\lambda_2)$%, где $%\lambda_{1,2}=(1+\sqrt{-3})/2$% -- комплексные корни. Оба множителя принадлежат кольцу $%{\mathbb Z}[\zeta]$%, в котором имеется алгоритм Евклида, и потому для этого кольца справедлив аналог основной теоремы арифметики. (Детальное изложение этого метода на уровне, доступном старшеклассникам, есть в книге М.М.Постникова "Введение в теорию алгебраических чисел".) Поскольку множители взаимно просты в этом кольце, каждый из них является кубом некоторого элемента кольца с точностью до обратимого сомножителя. Обратимых сомножителей в этом кольце ровно $%6$%, и это в точности все корни $%6$%-й степени из единицы. Поэтому справедливо равенство $%m-(\zeta+1)=\varepsilon(a+b\zeta)^3$%, где $%a$%, $%b$% -- целые, а $%\varepsilon$% обратим. После возведения в куб и приравнивания действительных и мнимых частей возникает уравнение $$a^3-3ab^2+b^3=1,$$ которое надо решить в целых числах. Оно имеет шесть легко находимых решений, но у меня не получилось доказать, что это все решения. Из этого факта сразу бы всё следовало. Я даже хотел задать на форуме отдельный вопрос об этом уравнении, но @Anatoliy задал очень близкий вопрос, поэтому я решил ограничиться изложением здесь.

Вчера вечером (или даже сегодня рано утром) я предпринял попытки поиска информации об этих уравнениях, и оказалось, что нужные факты были доказаны норвежцем Люнгреном (W.Ljunggren) в 40-х годах прошлого века. Методы там весьма сложные (помимо арифметики комплексных чисел там задействован $%p$%-адический анализ). Информацию об этом я нашёл в монографии Морделла "Диофантовы уравнения". Издана она была ещё в 1969 году, но на русский язык вроде бы не переведена. Автор является общепризнанным классиком в этой области, и книга даже при беглом ознакомлении с ней произвела отличное впечатление. Её имеет смысл основательно изучить.

Добавлю также, что в рациональных числах уравнение $%m^2-m+1=n^3$% имеет и другие решения. Точного их описания я не знаю, но могу назвать, например, такое решение: $%m=703/216$%, $%n=73/36$%, которое можно проверить подстановкой. Есть и другие рациональные решения.