Автора или источник формулируемой ниже задачи мне установить не удалось – преподаватель задал студенту, а студент, обратившийся за помощью, потерялся (возможно, кто-нибудь подскажет?). Решение задачи отняло много времени, но доставило большое удовольствие. Надеюсь, что оно доставит удовольствие и вам (я его нигде не выкладывал).

Задача. Доказать утверждение или найти контрпример. Пусть на сфере задано конечное множество красных и синих больших кругов, причем имеется, по крайней мере, одна точка, в которой пересекаются не все круги множества. Тогда существует точка, через которую проходит 2 или более кругов одного цвета и ни одного круга другого цвета.

Примечание. Большой круг — это круг, который делит шар (сферу) на две равные половины. Центр большого круга всегда совпадает с центром сферы. (Википедия)

задан 7 Май '13 22:35

изменен 7 Май '13 23:26

@Urt: имеются в виду большие окружности на сфере?

(7 Май '13 23:06) falcao

Конечно, это окружности, но термин "большие круги на сфере" является общепринятым (такое понятие использовано даже в БСЭ). Когда я впервые ознакомился с постановкой задачи, то стал задавать вопросы, "насколько они большие, какие области покрывают... ??" Общественность меня быстро успокоила. Здесь главное - взаимопонимание

(7 Май '13 23:15) Urt
2

@Urt: я так и подумал, но здесь существует "зазор" между терминологией "бытовой" и математической. В первом случае часто допускаются вольности речи типа того, что окружность может именоваться кругом, сфера -- шаром, число -- цифрой и т.п. Во втором случае такого рода эффектов обычно стараются избегать. Здесь из контекста в принципе всё ясно, но дело в том, что в математической задаче запросто могли быть раскрашены полусферы, или речь могла идти о сечениях шара плоскостями, проходящими через центр, которые больше подходят для того, чтобы называть их "большими кругами".

(7 Май '13 23:22) falcao

@Falcao, (часть 1) с Вашими доводами полностью согласен. Более того, трепетно отношусь к использованию терминов «величина», «значение», число, «цифра», «формула», «функция»,…, не говоря уже о «круге» и «окружности». Попытаюсь несколько оправдаться. Сам термин «большой круг на шаре (сфере)» определен строго и в задаче он понимается как круг. Понятие пересечения больших кругов на сфере также соответствует геометрическому пониманию областей (точек) пересечения, т. е. это точки на сфере, принадлежащие одновременно рассматриваемым областям.

(8 Май '13 0:13) Urt

(часть 2)Конечно, здесь может возникнуть двусмысленность: пересечение «больших кругов, заданных на сфере» или пересечение на сфере «больших кругов, заданных на этой сфере». Т. е. нестрогости в использовании математических понятий как бы нет, но есть некоторая двусмысленность. Учитывая, что это не влияет на решение задачи, прошу простить за это ее неизвестного автора и меня.

(8 Май '13 0:14) Urt

@Urt: по поводу употребления данного конкретного термина я должен с Вами согласиться. Что касается собственно задачи, то я пока не нашёл решения. Пробовал использовать стереографическую проекцию, рассматривая задачу о прямых на плоскости. Более ожидаемым считаю положительный ответ (то есть "монохромная" точка существует). Эта задача мне чем-то напомнила следующую: дано множество из $%n\ge3$% точек на плоскости, не лежащих на одной прямой. Доказать, что найдётся прямая, проходящая ровно через две из этих точек.

(8 Май '13 22:52) falcao

@Falcao, действительно, задачи схожи простотой формулировки, кажущейся очевидностью и в то же время нетривиальностью. Спасибо за красивую задачу - буду прорабатывать.

(9 Май '13 1:00) Urt
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
1

Удалось установить авторов задачи (для случая прямых на плоскости). Вот ссылка на источник.

ссылка

отвечен 11 Май '13 12:28

@Falcao, спасибо за ссылку. 1) Действительно, похоже, что – это две интерпретации одной и той же задачи. Хотелось бы получить от Вас небольшой комментарий. 2) Вспоминаю особенность своего доказательства (занимался давно и записи не сохранились) – в нем не использовались метрические свойства пространства и, таким образом, это утверждение должно выполняться во всех проективных плоскостях. 3) Решение задачи приведенной Вами в комментарии, наоборот, должно быть основано на использовании свойств евклидовой плоскости, т. к. любая конечная плоскость порядка n>=2 составила бы контрпример.

(11 Май '13 18:12) Urt

@Urt: я подразумевал, что задача для сферы эквивалентна задаче для плоскости. Надо выбрать плоскость большого круга, не проходящую через точки пересечения кругов, и осуществить стереографическую проекцию из центра. В обратную сторону действует то же соображение. Что касается обобщения на случай произвольной проективной плоскости, то здесь вроде бы возможно определить некий бесконечный процесс, в котором не будет повторений. Это утверждение вроде бы верно. В случае чего, я могу его оформить в более строгом виде -- если оно вызывает сомнения.

(11 Май '13 18:52) falcao

@Falcao, с учетом Ваших пояснений исходная задача, безусловно, решена. Вопрос о произвольной проективной плоскости выходит за ее рамки, но интересно было бы посмотреть на ход Вашего доказательства.

(11 Май '13 19:04) Urt

@Urt: судя по всему, то рассуждение, на которое я рассчитывал, всё-таки не проходит для произвольной проективной плоскости.

(15 Май '13 16:43) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,393
×861

задан
7 Май '13 22:35

показан
934 раза

обновлен
15 Май '13 16:43

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru